bts MAI session 2001 exercice 2

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Exercice 2 : ( 11 points ) Equation différentielle et étude de fonction
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : Résolution d’une équation différentielle

On considère l’équation différentielle : (E) y' - 2y = e2x
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur et y' sa fonction dérivée.
1. Résoudre sur l’équation différentielle :
(E0) y' - 2y = e2x
2. Soit h la fonction définie sur par h(x) = xe2x.
Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation diférentielle (E)
4. Déterminer la solution particulière f de l’équation (E) qui vérifie la confition f (0) = - 1.

Partie B : étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur par f (x) = (x - 1)e2x.
Sa courbe représentative C est donnée dans le repère de l’annexe (à rendre avec la copie).
1. a Calculer

b. On admet que :

En déduire :

c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b.
2. a. Démontrer que, pour tout x de , f '(x) = (2x - 1)e2x.
b. Résoudre dans R l’inéquation f ' (x) 0.
c. En déduire le sens de variation de f sur .
3. a. à l’aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle t et , donner le développement limité, à l’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction x e2x
b. En déduire que le développement limité, à l’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f est :

c. En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 et la position relative de C et T au voisinage de ce point.
d. Tracer T dans le repère de l’annexe.

Partie C Calcul intégral
1. Soit un réel strictement négatif, on pose

Démontrer que

On pourra effectuer une intégration par parties.
2. a. Calculer la limite de I() quand tend vers -
b. à l’aide d’une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat.