Exercice
2 : ( 11 points ) Equation différentielle et étude
de fonction
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées
de façon indépendante.
Partie A : Résolution dune équation différentielle
On considère léquation différentielle :
(E) y' - 2y = e2x
où y est une fonction de la variable réelle x, définie
et dérivable sur
et y' sa fonction dérivée.
1. Résoudre sur
léquation différentielle :
(E0) y' - 2y = e2x
2. Soit h la fonction définie sur
par h(x) = xe2x.
Démontrer que h est une solution particulière
de léquation différentielle (E).
3. En déduire lensemble des solutions de léquation
diférentielle (E)
4. Déterminer la solution particulière f
de léquation (E) qui vérifie la confition f
(0) = - 1.
Partie B : étude dune fonction
Soit f la fonction définie sur
par f (x) = (x - 1)e2x.
Sa courbe représentative C est donnée dans le repère
de lannexe (à rendre avec la copie).
1. a Calculer
b. On admet que :
En déduire :
c. Interpréter géométriquement le résultat
obtenu au b.
2. a. Démontrer que, pour tout x de ,
f '(x) = (2x - 1)e2x.
b. Résoudre dans R linéquation f ' (x)
0.
c. En déduire le sens de variation de f sur .
3. a. à laide du développement limité
au voisinage de 0 de la fonction exponentielle t
et , donner le développement limité,
à lordre 3, au voisinage de 0 de la fonction x
e2x
b. En déduire que le développement limité,
à lordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f
est :
c. En déduire une équation de la tangente T à
la courbe C au point dabscisse 0 et la position relative de
C et T au voisinage de ce point.
d. Tracer T dans le repère de lannexe.
Partie C Calcul intégral
1. Soit
un réel strictement négatif, on pose
Démontrer que
On pourra effectuer une intégration par parties.
2. a. Calculer la limite de I()
quand tend vers
-
b. à laide dune phrase, donner une interprétation
graphique de ce résultat.