bts MAI session 2003 exercice 2

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Exercice 2 : ( 11 points )
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante .

– Partie A - Résolution d’une équation différentielle

On considère l’équation différentielle
(E) y ' + y = 2e-xy est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur
et y ' sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions sur de l’équation différentielle (E0) : y ' + y = 0.
2. Soit h la fonction définie sur par h(x) = 2xe-x.
Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) dont la courbe représentative, dans un repère orthonormal, passe par le point de coordonnées (0 ; 3).

– Partie B - Etude d’une fonction
1. La courbe C cidessous représente dans un repère orthonormal une fonction f définie sur par f (x) = (ax + b)e-xa et b sont des nombres réels.
La droite D est la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 0.
Cette tangente passe par le point B de coordonnées (3 ; 0).

a) Déterminer graphiquement f (0).
b) Déterminer, graphiquement ou par le calcul, f ' (0).
c) Déterminer les valeurs des nombres réels a et b.
Dans la suite, on admet que f est définie sur par f (x) = (2x + 3) e-x

2. a) Démontrer que, pour tout x de , f ' (x) = (-2x - 1) e-x
b) Résoudre dans l’inéquation f ' (x) 0
c) En déduire le sens de variation de f sur
(On ne cherchera pas les limites en - et en + )

3. a)
Déterminer le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction
x e-x.
b) Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0,
de la fonction f est :


– Partie C Calcul intégral
1. La fonction f définie dans la partie B est une solution de l’équation différentielle (E) de la
partie A. Donc, pour tout réel x de , f (x) = - f '(x) + 2 e-x
En déduire une primitive F de f sur .
.
2. On note :

a) Démontrer que I = 5 - 6e-1/2
Donner une valeur approchée arrondie à 10-3 de I.
3. On note

a) Démontrer que J = 65/48
b) Donner une valeur approchée arrondie à 10-3 de J.
c) Vérifier que les valeurs approchées obtenues cidessus
pour I et J diffèrent de moins de 10-2.