Exercice 2 :
( 11 points )
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon
indépendante .
Partie A - Résolution dune équation différentielle
On considère léquation différentielle
(E) y ' + y = 2e-x où y
est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable
sur
et y ' sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions sur
de léquation différentielle (E0) : y ' +
y = 0.
2. Soit h la fonction définie sur
par h(x) = 2xe-x.
Démontrer que la fonction h est une solution particulière
de léquation différentielle (E).
3. En déduire lensemble des solutions de léquation
différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de léquation différentielle
(E) dont la courbe représentative, dans un repère orthonormal, passe
par le point de coordonnées (0 ; 3).
Partie B - Etude dune fonction
1. La courbe C cidessous représente dans un repère orthonormal
une fonction
f définie sur
par f (x) = (ax + b)e-x
où a et b sont des nombres réels.
La droite D est la tangente à la courbe C au point A dabscisse
0.
Cette tangente passe par le point B de coordonnées (3 ; 0).
a) Déterminer graphiquement f (0).
b) Déterminer, graphiquement ou par le calcul, f '
(0).
c) Déterminer les valeurs des nombres réels a et b.
Dans la suite, on admet que f est définie sur
par f (x) = (2x + 3) e-x
2. a) Démontrer que, pour tout x de
, f ' (x) = (-2x - 1) e-x
b) Résoudre dans
linéquation f ' (x)
0
c) En déduire le sens de variation de f sur
(On ne cherchera pas les limites en -
et en + )
3. a) Déterminer le développement limité, à lordre
2, au voisinage de 0, de la fonction
x e-x.
b) Démontrer que le développement limité, à lordre
2, au voisinage de 0,
de la fonction f est :
Partie
C Calcul intégral
1. La fonction f définie dans la partie B est une
solution de léquation différentielle (E) de la
partie A. Donc, pour tout réel x de
, f (x) = - f '(x) + 2 e-x
En déduire une primitive F de f sur .
.
2. On note :
a) Démontrer que I = 5 - 6e-1/2
Donner une valeur approchée arrondie à 10-3
de I.
3. On note
a) Démontrer que J = 65/48
b) Donner une valeur approchée arrondie à 10-3
de J.
c) Vérifier que les valeurs approchées obtenues cidessus
pour I et J diffèrent de moins de 10-2.