bts MAI session 2004 exercice 1

[Autres sujets][Correction]

Exercice 1 :
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes
Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour l’industrie.
Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres.
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10^-2.
A - Loi normale.
Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [99,45 ; 100,55].
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur.
On suppose que X suit une loi normale de moyenne 100 et d’écart-type 0,25.
1. Calculer la probabilité qu’une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur.
2. Déterminer le nombre réel h positif tel que : p(100 - h X 100 + h) = 0,95
Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase.

B - Loi binomiale et loi de Poisson.
Dans un lot de ce type de tiges, 3 % des tiges ne sont pas conformes pour la longueur.
On prélève au hasard 50 tiges de ce lot pour vérification de la longueur.
Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tiges.
On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 50 tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur.
1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur.
3. On considère que la loi suivie par Y peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson.
4. On désigne par Z une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre où a la valeur obtenue au 3. Calculer p(Z = 2) et p(Z 2).

C - Intervalle de confiance.
Dans cette question, on s’intéresse au diamètre des tiges, exprimé en millimètres. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 50 tiges dans la production d’un journée.
Soit la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 tiges prélevées au hasard et avec remise dans la production d’un journée, associe la moyenne des diamètres des tiges de cet échantillon.
On suppose que suit une loi normale de moyenne inconnue µ et d’écart-type / avec
= 0,19. Pour l’échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à 10^-2,
est = 9,99.
1. à partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne µ des tiges produites dans cette journée.
2. Déterminer un intervalle de confiance centré sur de la moyenne µ des diamètres des tiges produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance de 95%.
3. On considère l’affirmation suivante : la moyenne µ est obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenue à la question 2. . Est-elle vraie ? (on ne demande pas de justification.)