Exercice 2 :
( 9 points )
Les quatres parties de cet exercice peuvent être traitées
de façon indépendante.
Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier
pour la construction, leur diamètre est exprimé en
millimètre.
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats
approchés sont à arrondi à 10-2
.
A. Loi normale :
Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre
lorsque celui ci appartient à l'intervalle [89,6 ; 90,4].
1. On note X1 , la variable aléatoire qui
à chaque rondelle prélevée au hasard dans la
production associe son diamètre. On suppose que la variable
aléatoire X1 suit la loi normale
de moyenne 90 et d'écart type
= 0,17
Calculer la probabilité qu'une rondelle prélevée
au hasard dans la production soit conforme.
2. L'entreprise désire améliorer la qualité
de la production des rondelles : il est envisagé de modifier
le réglage des machines produisant les rondelles. On note
D la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée
dans la production future associera son diamètre. On suppose
que la variable aléatoire D suit une loi normale de moyenne
90 et d'écart type 1
. Déterminer 1
pour que la probabilité qu'une rondelle prélevée
au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre
soit égale à 0,99.
B. Loi binomiale :
On note E l'évenement : " une rondelle prélevée
dans un stock important a un diamètre défectueux ",
on suppose que P(E) = 0,02.
On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock
pour la vérification de leur diamètre. Le stock est
assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement
à un tirage avec remise de quatre rondelles.On considère
la variable aléatoire Y1, qui à tout prélèvement
de quatres rondelles associe le nombre de rondelles de ce prélèvement
ayant un diamètre défectueux.
1. Justifier que la variable aléatoire Y1
suit une loi binomiale
dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement
aucune rondelle n'ait un diamètre déféctueux.
Arrondir à 10-3.
3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement
au plus une rondelle ait un diamètre déféctueux.
Arrondir à 10-3.
C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
Les rondelles sont commercialisées par lots de 1000.
On prélève au hasard un lot de 1000 dans un dépot
de l'usine. On assimile ce prélèvement à un
tirage avec remise de 1000 rondelles.
On considère la variable aléatoire Y2 qui
à tout prélèvement de 1000 rondelles associe
le nombre de rondelles non conformes parmi ces 1000 rondelles.
On admet que la variable aléatoire Y2 suit la
loi binomiale de paramètres
n = 1000 et p = 0,02. On décide d'approcher la loi de la
variable aléatoire Y2 par la loi normale de moyenne
20 et d'écart type 4,43.
On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale de
moyenne 20 et d'écart type 4,43.
1. Justifier les paramètres de cette loi normale.
2. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 15
rondelles non conformes dans le lot de 1000 rondelles, c'est à
dire calculer P(Z
15,5 ) .
D . Test d'Hypothèse :
On se propose de construire un test
d'hypothèse pour contrôler la moyenne µ de
l'ensemble des diamètres, en millimètres, de rondelles
constituant une grosse livraison à effectuer.
On note X2, la variable aléatoire qui, à
chaque rondelle prélevée au hasard dans la livraison
associe son diamètre.
La variable aléatoire X2 suit une loi normale
de moyenne inconnue µ et d'écart type
= 0,17.
On désigne par
la variable aléatoire, qui à chaque échantillon
aléatoire prélevé dans la livraison de 100
rondelles associe la moyenne des diamètres de ces rondelles
( la livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler
ces prélèvements à des tirages avec remise
)
L'hypothèse nulle est H0 : µ = 90. Dans
ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre.
L'hypothèse alternative est H1 : µ ≠
90.
Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.
1. Enoncer la règle de décision permettant
d'utiliser ce test en admettant, sous l'hypothèse nulle H0
, le résultat suivant qui n'a pas à être démontré
:
P( 89,967
90,033 ) = 0,95.
2. On prélève un échantillon de 100
rondelles dans la livraison et on observe que, pour cet échantillon,
la moyenne des diamètres est de
= 90,02.
Peut-on, au seuil de 5 %, conclure que la livraison est conforme
pour le diamètre ?