Exercice 1 : (12
points ) équation différentielle d'ordre 2
Partie A : résolution d'une équation différentielle
On considère
l'équation différentielle : (E) y''
- 3y' + 2y = -4e2x.
1. Donnez la forme générale des solutions de
l'équation (E ' ) y'' - 3y' + 2y =
0
2. Déterminer
le réel a pour que la fonction g définie
sur par :
g(x) = axe2x soit solution
de l'équation (E)
3. a. Déduire des questions précédentes
la solution générale de l'équation (E)
b. Déterminer la solution f de l'équation
(E) dont la courbe représentative passe par le point S(0
; 2) et admet en ce point une tangente parallèle à
l'axe des abscisses.
Partie B : étude d'une solution particulière de
l'équation (E)
Soit la fonction f définie sur
par : f(x) = 2e2x(1 - 2x)
On appelle C la courbe représentative de f dans un
repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
1. a. Etudiez la limite de f en -
1. b. Etudiez la limite de f en +
En déduire que C admet une asymptote dont on précisera
l'équation. Préciser la position de C par rapport
à cette asymptote.
2. Etudiez les variations de la fonction f sur
3. Tracer la courbe C.
4. A l'aide d'une intégration par parties, déterminer
l'aire exprimée en cm² , du domaine délimité
par C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x
= - 2 et x = 0 . Donner la valeur de cette aire arrondie
au mm².