Exercice 2 :
( 9 points ) Transformée de Laplace et équation différentielle
Létude dun mouvement amorti amène à
considérer la fonction f telle que
a. f ( t ) = 0 pour t < 0.
b. f '' ( t ) + 2 f ' ( t ) +
2 f ( t) = e-t pour t >
0.
c. f (0) = 1 et f ' ( 0) = 0
Partie A : Détermination de la transformée de
Laplace de f
Nous allons utiliser la transformée de Laplace pour résoudre
cette équation différentielle. Pour cela, nous admettons
que f et ses dérivées premières et seconde
admettent des transformées de Laplace.
On note F la transformée de f . ( F(p) = L[ f
(t)] ).
1. Calculer en fonction de F(p) :
L [f ''(t)] , L[ f '(t)] et L[ f ''(t) + 2
f '(t) + 2 f (t) ].,
2. Calculer L[etU(t)] où
U est léchelon unité.
3. En déduire F(p).
Partie B : Détermination de f
1. Vérifier que
puis montrer que
2. Déduire du résultat précédent
lexpression de f (t) pour t positif.