bts MAI session 1998 exercice 2

[Autres sujets][Correction ]

Exercice 2 : ( 9 points ) Transformée de Laplace et équation différentielle
L’étude d’un mouvement amorti amène à considérer la fonction f telle que
a. f ( t ) = 0 pour t < 0.
b. f '' ( t ) + 2 f ' ( t ) + 2 f ( t) = e-t pour t > 0.
c. f (0) = 1 et f ' ( 0) = 0

Partie A : Détermination de la transformée de Laplace de f
Nous allons utiliser la transformée de Laplace pour résoudre cette équation différentielle. Pour cela, nous admettons que f et ses dérivées premières et seconde admettent des transformées de Laplace.
On note F la transformée de f . ( F(p) = L[ f (t)] ).
1. Calculer en fonction de F(p) :
L [f ''(t)] , L[ f '(t)] et L[ f ''(t) + 2 f '(t) + 2 f (t) ].,
2. Calculer L[etU(t)] où U est l’échelon unité.
3. En déduire F(p).

Partie B : Détermination de f
1. Vérifier que

puis montrer que

2. Déduire du résultat précédent l’expression de f (t) pour t positif.