La fonction cotangente
hyperbolique est définie strictement décroissante
et continue sur chaque intervalle ]- ;
0[ et sur ]0 ; + [
, les deux restrictions aux intervalles ]0 ; + [
et ]- ; 0[ sont toutes
deux des applications bijectives
,
l'une de ]0 ; + [ dans
]1 ; +[ et l'autre
de ]- ; 0[ dans ] -
; -1[
les deux intervalles ] - ;
-1[ et ]1 ; +[ étant
disjoints c'est à dire d'intersection vide, la fonction cotangente
hyperbolique admet donc une fonction réciproque, continue et strictement
décroissante respectivement sur ] - ;
-1[ et ]1 ; +[que l'on
note Argcoth :
La fonction Argcoth est donc définie sur
] - ; -1[
]1 ; +[ et on a sous
réserve que x appartienne à ] - ;
-1[ ]1 ; +[
et y soit un réel non nul :
Exemple :
La fonction argcoth est une fonction impaire
:
argcoth(-x) = - argcoth x
Dérivée de cette fonction
:
la fonction argcoth est dérivable sur chaque intervalles ] - ;
-1[ et ]1 ; +[ et
La fonction Argcoth est donc strictement décroissante sur chaque
intervalle
] - ; -1[ et ]1 ; +[
puisque 1-x² < 0 sur ] - ;
-1[ ]1 ; +[
Limites aux bornes de l'ensemble de définition
( se déduisent des limites en
0 et en +de
la fonction cotangente hyperbolique )
courbe représentative de cette fonction :
Autre expression d' Argcoth x :