racine carrée d'un nombre complexe

Définition : soit Z un nombre complexe donné, on appelle racine carrée complexe de Z tout nombre complexe z , s'il existe tel que z² = Z

Cette notion n'est surtout pas à confondre avec la racine carrée dans qui est unique contrairement à celle qui vient d'être définie. Les écritures suivantes sont fortement déconseillées pour éviter justement l'amalgame entre les deux racines carrées : racine carrée d'un réel positif et racines carrées d'un nombre complexe.

Voila une méthode permettant de déterminant les racines éventuelles d'un nombres complexes :
le plus simple pour déterminer les racines carrées d'un nombres complexe Z de forme algébrique a + bi est de poser z = x + iy (ou x et y sont des réels ) puis de résoudre le sytème d'équation à deux inconnues qui en résulte en effet :

il est trés simple alors d'en déduire x² en ajoutant la première et la troisième équation puis en déduire les valeurs de x puis y .

Exemple :
on veut déterminer les racines carrées de 3 + 4i

on en déduit deux racines carrées pour 3 + 4i :
-2 - i et 2 + i

Exemples de calculs de racines carrées