Congruences modulo n dans l'ensemble des entiers relatifs

Soit n un entier naturel non nul .

Considérons dans la relation notée telle que pour tous entiers relatifs x et y :
x y (n) ⇔ x - y est un multiple de n dans
k ∈ tel que x - y = kn

On démontre facilement que cette relation est une relation d'équivalence
et on appelle cette relation congruence modulo n dans .
Remarque :
x y (n) se lit : " x est congru à y modulo n ".
Propriété : pour que deux entiers relatifs x et y soient congrus modulo n dans il faut et il suffit qu'ils aient le même reste dans la division euclidienne par n.
a-ton ( ) ?

propriétés de la congruence modulo n dans
Pour pour entiers relatifs x1, x2, y1, y2 et tout entier naturel non nul l on a :




Conséquence : caractères de divisibilité d'un nombre

Soit a un entier naturel dont la représentation symbolique dans le système décimal est : a = ap ....a3a2a1a0 .

en utilisant les propriétés précédentes on obtient :

ce qui amène aux caractères de divisibilités d'un entier.
Classe Modulo n

Congruence et nombre premier :

Si a est premier avec p, et si x et y sont des entiers tels que xa ya (p), alors x y (p).

Démonstration :
xa ya (p) donc
p divise xa - ya = a (x - y)
or a n'est pas multiple de p donc p divise x - y
donc x - y 0 (p)
donc x y (p)


Tables de congruence