nombres constructibles

Considèrons une droite D muni d'un repère (O ; ) ou O est un point de la droite D et est un vecteur directeur de D.
Nommons sur la droite D le point I d'abscisse 1, la distance OI = 1

Points et ensembles constructibles à la régle et au compas :

La définition choisie est une définition par récurrence :

  • les points O et I sont des points constructibles.
  • tout point du plan est un point constructible si il est intersection de deux ensembles de points constructibles ( droite ou cercle )
  • une droite est constructible si et seulement si elle passe par deux points constructibles.
  • un cercle est constructible si et seulement son centre est un point constructible et son rayon est la distance entre deux points constructibles.

Nombres constructibles :

Un nombre est constructible si et seulement si il est l'abscisse d'un point du plan dans le repère (O ; ).

Propriétés :

  • la somme de deux nombres constructibles est un nombre constructible.
  • la différence de deux nombres constructibles est un nombre constructible.
  • le produit de deux nombres constructibles est un nombre constructible ( utilisation du théorème de Thalès )

  • le quotient de deux nombres constructibles est un nombre constructible.

  • la racine carrée d'un nombre constructible est un nombre constructible.

    (voir propriétés dans un triangle rectangle )

  • les entiers naturels et relatifs sont constructibles.
  • les nombres rationnels sont constructibles.