Fonctions coût
  • Coût total de fabrication d'une quantité x est noté C(x)
  • Coût moyen de production est le coût de production par unité produite : c'est le rapport du coût total de fabrication d'une quantité x sur la quantité x , c'est une fonction de x :
  • Coût marginal de production est l'accroissement du coût total dû à la fabrication d'une unité supplémentaire :

Dans la pratique, on pose Cm (x) = C'(x)

ces nombres sont suffisamment voisin pour que l'on pose Cm (x) = C'(x) voir l'explication ci-dessous :

Soient les points M et P de la courbe représentative de la fonction C dont les abscisses sont x et x+1, leurs ordonnées sont respectivement C(x) et C(x+1) le coefficient directeur de la droite (MP) est donc égal à :

le coefficient directeur de la tangente au point M est égal à C'(x) .

Plus le point P est proche de M, plus la droite (MP) prend la direction de la tangente au point M. ( voir fonction dérivée et tangente ) donc il est tout à fait normal de poser Cm(x)=C'(x)

Propriété des fonctions coûts

La courbe représentative de la fonction coût marginal coupe la courbe représentative de la fonction coût moyen au point le plus bas de la courbe représentative de la fonction coût moyen : si CM(x0) est le minimum du coût moyen, alors CM(x0) = Cm(x0)

Démonstration :

1.

2. En supposant que CM admet un minimum en x0 on a :
La tangente T0 au point M0, d'abscisse x0 à la courbe représentative de la fonction coût total passe par l'origine du repère :

Équation de la tangente au point d'abscisse x0 :

  • le coefficient directeur de cette tangente est C'(x0)
  • cette tangente passe par le point (x0 ; C(x0) )
  • Équation de la tangente : en utilisant les égalités précédente on obtient
    l'équation d'une droite passant par l'origine du repère :