exercice sur les nombres complexes génie mécanique, génie matériaux

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation en z :
z² - 6z + 13 = 0
2. a. Déterminer les réels b et c tels que pour tout complexe z :
z3 - 9z² + 31z - 39 = (z - 3)(z² + bz + c)
b.
En déduire les solutions dans de l'équation en z :
z3 - 9z² + 31z - 39 = 0.
3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal
(unité : 2 cm )
Soient A, B, E et F les points d'affixes respectives :

a. Placer les points A, B, E et F dans le plan complexe ( sur papier millimétré).
b. Calculer les distances FA, FB et FE. En déduire que les points A, B et E appartiennent à un cercle (Γ) de centre F.
c. Quelle est la nature du triangle ABE ?

Correction :
1.

2.a.

par identification ( avec le polynôme z3 - 9z² + 31z - 39) on en déduit :

donc on peut en conclure que :
z3 - 9z² + 31z - 39 = (z - 3)(z² - 6z + 13)
2.b.
z3 - 9z² + 31z - 39 = 0 équivaut à
(z - 3)(z² - 6z + 13) = 0 équivaut à
z - 3 + 0 ou z² - 6z + 13 = 0 équivaut à
z = 3 ou z = 3 - 2i ou z = 3 + 2i
S = { 3 ; 3 - 2i ; 3 + 2i }
3. a

3.b.

AF = BF = EF = 2 donc A, B, E appartiennent au cercle (Γ) de centre F et de rayon 2.
3.c.

donc F milieu de [AB] or F est le centre du cercle ( Γ ) , [AB] diamétre du cercle ( Γ ), E appartient au cercle ( Γ ) or un triangle inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés est un triangle rectangle donc ABE est rectangle en E.
Autre méthode : calculer les distances AB, AE, BE et appliquer la réciproque du théorème de Pythagore.