Exercice sur les nombres complexes bac STI GM

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives : zA = + 3i ; zB = 2 et zC= 2i
1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe ( sur papier millimétré ).
2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe zA.
3. a. Calculer les modules des nombres complexes :
zA - zC , zB - zA et zB - zC
En déduire la nature du triangle ABC.
b. Déterminer l'affixe du centre K du cercle ( G ) circonscrit au triangle ABC ; préciser le rayon de ce cercle.
c. Montrer que le point O appartient au cercle( G )
4. On considère le point D d'affixe
a. Montrer que zD = - i
b. Calculer l'affixe du milieu M du segment [AD].
c. Démontrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.

Correction
1.

2. Déterminons le module de zA = + 3i
|zA| =3+9 = 12 = 23
Déterminons un argument de zA
soitqA un argument de zA = + 3i, on a :
cos qA=/2= 1/2
sin qA=3/2= /2
On en déduit q = p/3 est un argument de zA

3. a.
AC = |zA - zC |= | + 3i - 2i |= | + i |= 3 + 1 =4 = 2
AB = | zB - zA |=| 2 - ( + 3i )| = | - 3i |= 3 +9 =
12 = 23
BC =| zB - zC|=|2- 2i| = 12 +4 = 16 = 4

BC² = 16
AC² + AB² = 4 + 12 = 16
donc BC² = AC² + AB² d'après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est rectangle en A.

3.b. Le triangle ABC est rectangle en A, donc le centre K du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de [BC], soit zK l'affixe de K on a :

Le rayon r du cercle ( G ) est égal à la moitié de l'hypoténuse BC, soit r = 2.
B et C appartiennent respectivement à l'axe des réels et des imaginaires purs donc BOC est rectangle en O, O appartient donc au cercle ( G ) de diamètre [BC]
4. a.

b. M milieu de [AD] donc si zM est l'affixe de M :

donc M et K sont confondus.
c. [AD] et [BC] ont le même milieu K , or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme d'ou ABDC est un parallélogramme.
De plus ABDC est tel que (AB) (AC) or un parallélogramme dont deux cotés consécutifs sont perpendiculaire est un rectangle donc ABDC est un rectangle.