exercice sur les nombres complexes (série GM 1994)

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument Il faut comprendre qu'il y a deux nombres complexes qui ont pour carré -1 , i et -i ... .
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B, C, D d'affixes respectives :

1) Ecrire zA et zB sous la forme trigonométrique. Donner le module et un argument de zC et zD et écrire ces nombres sous la forme algébrique.
2) Montrer que les points A, B, C, D sont situés sur le même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3) Tracer le cercle et placer les points A, B, C, D.
4) a) On note Z1 et Z2 les affixes respectives des vecteurs et . Montrer que Z2 = Z1 .
b) On note Z3 et Z4 les affixes respectives des vecteurs et . Calculer |Z3| et |Z4|.
c) Montrer que le quadrilatère ABDC est un trapèze isocèle.

Correction :
1)

Les deux nombres complexes zA et zB ont pour module 8.

on en déduit la forme trigonométrique des nombres complexes zA et zB ( et du même coup leurs formes exponentielle ) :

on peut en déduire les formes exponentielles des nombres complexes zC et zD :

on a donc :

on en déduit leur forme algébrique :

( ce n'est pas la seule façon de déterminer les formes algébriques de ces deux nombres complexes )
2) on a :

les points A, B, C, D appartiennent par conséquent au cercle de centre O et de rayon 8.

4) a)

une propriété sur les affixes se répercute sur une propriété vectorielle : de Z2 = Z1 on en déduit : =
on en conclu au passage que les droites (BD) et (AC) sont parallèles puisque les vecteurs et sont colinéaires.
4) b)

|Z3| = |Z4| donc les vecteurs et
ont la même norme 8 : AB = DC.
4) c) d'après ce qui précède le quadrilatère ABDC est tel que AB = DC et (AC) // (BD) donc c'est un trapèze isocèle.