exercice sur les nombres complexes STI GM,GC, GEN session 1996

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
On pose z1 = 1 + i , z2 = + i et Z = z13z2
1)a) Mettre z13 sous forme algébrique ( on pourra utiliser une identité remarquable ).
b) Mettre Z sous forme algébrique.
2)a) Déterminer le module et un argument du nombre complexe z1 , puis le module et un argument du nombre complexe z13.
b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe z2 .
c) Déduire des questions précédentes un écriture trigonométrique de Z.
3) En comparant les écritures algébrique et trigonométrique de Z, déterminer les valeurs exactes de cos (11/12) et sin (11/12).

Correction
1) a)

b)
2) a)

soit 1 un argument de z1 on a :



donc 3/4 est un argument de z13 et son module.
2) b)

soit 2 un argument de z2 on a :

on en déduit la forme trigonométrique puis la forme exponentielle du nombre z1

2) c) des formes exponentielle de z13 et z2 on en déduit la forme exponentielle du nombre complexe Z ainsi que sa forme trigonométrique :

3) On sait que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont les même parties réelles et les même parties imaginaires :