Exercice sur les nombres complexes bac sti génie mécanique session 1997

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.
On note : i le nombre complexe de module 1 et d'argument ;
z1 le nombre complexe -1 -i.
1. On pose z2 = iz1 , montrer que z2 = - i
2.a. Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes z1 et z2 .
2.b. Placer dans le plan P le point M1 d'affixe z1 et le point M2 d'affixe z2 .
3. Soient A, B et C les points du plan d'affixes respectives zA, zB et zC telles que :
zA = - 2 + 2i ; zB = 2 - 2i et zC = 8
3.a. Montrer que zA = 2 z1 et que zB = - zA
3.b. Placer les points A,B et C dans le plan P.
3.c. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
3.d. Calculer l'affixe du point D de sorte que le quadrilatère ABCD soit un rectangle.
Correction :
1.

2.a . Soient q1 et q2 des arguments respectifs de z1 et z2 :


On peut aussi utiliser les propriétés du module d'un nombre complexe :


2.b.

3.a.


3.b.

3.c.


d'après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est rectangle en B.
3.d. Pour que ABCD soit un rectangle il suffit que ABCD soit un parallélogramme puisque ABC est un triangle rectangle.
Pour que ABCD soit un rectangle il suffit donc que .
Soient zA, zB, zC, zD les affixes respectifs de A,B, C, D
de on en déduit : zB-zA = zC - zD soit zD =zA - zB + zC
zD = -2 + 2i - 2 + 2i + 8 = 4 + 4i est donc l'affixe du point D.