Exercice sur les nombres complexes série S session 2002

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ayant comme unité graphique 2 cm.

1.Résoudre dans L'ensemble des nombres complexes l'équation :
On pose a= +i et b = - i.
écrire a et b sous forme exponentielle et placer les points A et B d'affixes respectives a et b.

2.a.Soit r la rotation de centre O d'angle p/3.
Calculer l'affixe a' du point A' image du point A par r. écrire a' sous forme algébrique et placer A' sur la figure précédente.

b.Soit h l'homothétie de centre O et de rapport -.
Calculer l'affixe b' du point B' image du point B par h. Placer B' sur la figure précédente.

3.Soit C le centre du cercle circonscrit au triangle OA'B' et R le rayon de ce cercle. On désigne par c l'affixe du point C.

3.a.Justifier les égalités suivantes :

b.En déduire que puis que

c.En déduire l'affixe du point C et la valeur de R.
Correction :
1. D = (-2)² - 16 = 12 - 16 = -4 < 0 ( D = 4i² )
l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

Forme exponentielle de a et b :
(vous pouvez calculer le module de a et b et un argument mais ici le plus rapide et de faire apparaître des valeurs remarquables de cosinus et sinus )
méthode "rapide"

méthode en calculant le module et un argument :
soient qa et qb des arguments respectifs de a et b

on en déduit les formes exponentielles de a et b :

2.a. L'application complexe f associée à la rotation r de centre O et d'angle p/3 est définie par :
z' = f(z) =

2i est donc la forme algébrique de a (figure à la fin)
L'application complexe g associée à l'homothétie de centre O et de rapport - est définie par :
z' = g(z) = - z
(forme algébrique de b')
3. a. R est le rayon du cercle de centre C circonscrit au triangle OA'B' donc R = OC = A'C = B'C
- de R = OC on en déduit R² = OC² d'ou R² = |c|²= cc
( voir propriétés modules et argument )
- de R = A'C on en déduit R² = A'C'² d'ou
R² = |c-2i|² = (c-2i).(c-2i) = (c - 2i).(c + 2i)
- de R = B'C on en déduit de la même façon que précédemment :

b. en transformant la seconde égalité et on se sert de la première, on obtient la relation :
(c - 2i).(c + 2i) = cc + 2i c -2i c -4i² = R² ⇔
+ 2i(c - c) = R² + 4i² ⇔
c - c = 2i
De la même façon on transforme la troisième égalité :

En sommant les égalités et

on obtient c puis le rayon R :