équation de la tangente en un point d'abscisse donnée

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en un réel a de I , l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse a de la courbe représentative de f est :

y = f '(a) (x - a) + f(a)



Démonstration :

Si f est dérivable en un un réel a de I, le coefficient directeur de la tangente est f '(a) (voir définition du nombre dérivé )

L'équation de la tangente est donc de la forme :
y = f '(a) x + p où p est un réel à déterminer.

Le point de coordonnées ( a ; f(a) ) appartient à la tangente ( et aussi à la courbe représentative de la fonction f)

Les coordonnées ( a ; f(a) ) vérifient donc l'équation
y = f '(a) x + p ce qui permet de trouver le réel p
f(a) = f '(a) a + p
p = f(a) - f '(a) a

Par conséquent l'équation de la tangente est :
y = f '(a) x + f(a) - f '(a) a
ce qui donne en mettant f '(a) en facteur
y = f '(a) (x - a) + f(a)