Démontrer une égalité avec des expression algébriques, littérales

Pour démontrer une égalité A = B ou A et B sont des expressions algébriques ou des expressions vectorielles.
Méthode 1:

On peut partir de l'expression A et  utiliser des propriétés algébriques sur les réels ou sur les vecteurs pour obtenir finalement l'expression B.  ( ou l'inverse )

Exemple 1 : on veut prouver que pour tout réel q on a : 

1- q5 = (1- q )( 1+q + q² + q3 + q4)

Démonstration :

(1- q )( 1+q + q² + q3 + q4) =

1+ q + q² + q3 + q4 - q - q² - q3 - q4 - q5 =

1 - q5

Donc pour tout réel q on a : 

1- q5 = (1- q )( 1+q + q² + q3 + q4)

Exemple 2 : Soit I le milieu d'un segment [AB] on veut prouver que pour tout point M du plan on a :

démonstration : 

commentaire : 

Méthode 2 : 

On démontrer que A = C et B = C et en déduire que A = B.

( deux nombres égaux à un même troisième sont égaux ou deux vecteurs égaux à un même vecteur sont égaux ) 

Cette méthode est très souvent utilisée pour les démonstrations d'égalités vectorielles.

Exemple : Montrer que pour tout réel a et b on a :

 (a² - b²)² + (2ab)² =(a² + b²)²

Démonstration :

pour tout réel a et b on a :  (a² - b²)² + (2ab)² =(a² + b²)²

Méthode 3 : on démontre l'égalité  A - B = 0 et 

on en déduit A = B

Méthode 4 : Si A et B sont deux expressions algébriques telles B
On peut démontrer l'égalité :

 

et on en déduit A = B

( cette méthode n'est pas valable pour les vecteurs )