Equation différentielle de type y'= ay

L'équation différentielle y' = ay (1) ou a est un réel fixé admet pour solutions, sur , la famille des fonctions fλ définies par : f(x) = λeax , λ ∈ et ce sont les seules.

( voir exemples de résolutions de ce type d'équations différentielles )

démonstration :
  • Remarquons tout d'abord que la fonction nulle ( fonction constante nulle sur ) est solution de cette équation sur .
  • Supposons maintenant une fonction f solution de l'équation ne s'annulant pas sur un intervalle I de , alors pour tout réel x de I on a :
    Si on prend λ = 0 on obtient la fonction nulle

    Montrons que ce sont les seules fonctions qui sont les solution de cette équation :

    Soit f une fonction quelconque solution sur de l'équation différentielle y' = ay et soit g la fonction définie sur , montrons que g est une fonction constante sur .



    Exemples de résolution
    Intégrer les équations différentielles suivantes :

    1. y' + 2y = 0
    2. y' = 3y


    3. intégrer l'équation différentielle y ' = -3 y et déterminer la fonction intégrale qui prend la valeur 2 en 1 :


Exercice interactif