équation du premier ordre exacte

Définition :
Une équation du premier ordre exacte est une équation qui peut se mettre sous la forme :
X(x ; y) dx + Y(x ; y) dy = 0 et donc les fonctions X et Y vérifient l'équation aux dérivées partielles : X/y = Y/x
Résolution :
La solution est donnée sous forme d'une équation liant x et y seulement de la forme F(x ; y ) = K , ou
F(x ; y) = X(x ; y) dx + a(y) = Y(x ; y) dy + b(x)
les fonctions a(y) et b(x) doivent être recherchées pour que la dernière égalité soient vérifiée.

Exemple :
xy + y3 +y'x2/2+ 3xy2 y' = 0
(xy + y3) dx + (x2/2+ 3xy2) dy = 0
X(x ; y ) = xy + y3, Y(x;y) = x2/2+ 3xy2
X/y = x + 3y2
Y/x = x + 3y2
donc X/y = Y/x
X(x ; y) dx = xy + y3 dx = x²y/2 + xy3
Y(x ; y) dy = x2/2+ 3xy2 dy = x²y/2 + xy3
aucune fonction a et b n'a été utilisée dans ce cas.
on a donc :
x²y/2 + xy3 = K