Equation avec logarithme népérien

Résoudre dans les équations suivantes

Correction :
  • Il faut d'abord prendre certaines précaution : cette équation a un sens si x > 0 et x > 4 , pour que ces deux conditions soient réalisées simultanément il faut que x > 4 ou encore x ∈]4; +∞[ ( les solutions trouvées à la fin de la résolution doivent être > 4)
  • A ce niveau on utilise le fait que la fonction logarithme népérien est une fonction bijective ou on compose par la fonction exponentielle, l'équation obtenue ensuite est une équation plus simple sans " ln x " :
  • Il ne reste plus qu'à voir si les solutions trouvées sont acceptables c'est à dire si elles sont strictement supérieur à 4 , 2 ne peut pas être pris par contre 8 est solution : S = { 8 }
  • cette équation a un sens si x² -1 > 0 et x > ¼ . Première condition : x² - 1 > 0 équivaut à (x - 1)(x + 1)>0 l'étude de signe d'un polynôme du second degré ayant deux racines nous permet d'affirmer que x doit appartenir à x ]-∞; -1[ ]1; +∞[ ( faire un tableau de signe ) . Seconde condition il faut que x > ¼ . Les deux conditions doivent être réalisées simultanément donc on prend x > 1 ( c'est l'intersection des deux ensembles ]-∞; -1[ ]1; +∞[ et ]¼ ; +∞[.
  • Résolvons donc cette équation avec x > 1