petit théorème de Fermat
Théorème :
Si p est un nombre premier, alors pour tout entier a on a :
ap ≡
a (p)
ap-1 ≡
1 (p)
( voir congruence )
Démonstration du théorème :
- Si a n'est pas premier avec p, comme p
est un nombre premier, alors a est un multiple de p, donc a et
ap ont le même reste nul dans la division par
p donc ap ≡
a (p)
- Supposons donc a premier avec p, donc
a n'est pas un multiple de p.
démontrons d'abord le résultat suivant :
il ne suffit plus que démontrer par récurrence que
: ap ≡
a (p) en utilisant la propriété précédente.
supposons que l'on a : ap ≡
a (p) pour un certain rang a et démontrons que l'on a alors :
(a + 1)p ≡
a + 1 (p)
(a + 1)p ≡
ap + 1p (p) puisque p est premier
or ap ≡
a (p)
ap + 1≡
a + 1 (p) donc : (a + 1)p ≡
a + 1 (p)