De plus , comme tu proposes un nouvel exercice il aurait été bien de lui donner un titre comme " étude de variations d'une fonction du second degré"
clementine a écrit :I) Soient f la fonction définie sur par :
f(x) = x² − 6 x + 4
1) Etude de f :
a) Montrer que la fonction f admet un extremum en x = 3. Préciser sa valeur.
b) Etudier les variations de f sur ]– ; 3] et sur [3 ; + [. On dressera le tableau des variations de f
c) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;i ;j )
Pour les premières questions , tranforme l'expression de f(x) pour lui donner la forme canonique:
f(x)=(x-3)²-5
Pour cela écris f(x)=x²-6x+4 sous la forme:
f(x)=x²-6x+9-9+4 ,
le but étant de faire apparaitre l'identité x²-6x+9=(x-3)²
Question 1a)
remarque que pour tout x ≠3 (x-3)² > 0
alors (x-3)²-5 > -5 ce qui prouve que f(x) > -5 pour tout x ≠ 3 , et en plus si x= 3 , la valeur minimale obtenue est -5 ; qui est la valeur de l'extremum cherché .
Question 1b)
Relis le cours http://homeomath2.imingo.net/variation.htm
Sur l'intervalle ]-:inf: ;3[ choisis deux nombres a et b tels que a<b , le but est de comparer f(a) avec f(b) .
Ainsi on a : a < b < 3 alors : a-3 est inférieur à b-3 et sont tous les deux négatifs
De plus la valeur absolue de a-3 est plus grande que celle de b-3 donc
(a-3)² est supérieur à (b-3)² et en retranchant 5
(a-3)²-5 est supérieur à (b-3)²-5 ce qui prouve que f(a) est supérieur à f(b)
Conclusion , sur l'intervalle ]-:inf: ; 3[ si a<b alors l'image f(a) est plus grande que f(b)
On dit que la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-:inf: ; 3[.
Recommence sur l'intervalle ]3 ; +:inf:[ .......tu trouveras que f est croissante ;
Question 1c)
Pour la représentation graphique , il te faut donner un tableau de valeurs , centrées sur la valeur x=3 , en effet tout courbe représentant une fonction du second degré admet un axe de symétrie passant par l'extremum.
Calcule par exemple les images de 4 et de 2
puis celle de 5 et de 1 puis celle de 6 et de 0
Cela devrait suffir pour exécuter une courbe régulière .
Tu peux pour vérifier utiliser un grapheur comme Geogebra que tu téléchargeras sur internet ; ce logiciel te rendra de nombreux services.
Marcel