nombres (trop) complexes (pour moi)

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nombres (trop) complexes (pour moi)

Messagepar zal » mar. 21 févr. 2012 09:19

Bonjour,

Voici l'énoncé :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v).
On considère les transformations T1 et T2 qui, au point M d'affixe z, associent respectivement les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2 telles que :
Z1= 1/z
Z2= z²

D est l'ensemble des points M d'affixes z tels que: Re(z)=1

questions :
Montrer que T1 est la composée de 2 transformations simples.
En déduire l'image de D par T1

Je ne sais pas du tout comment débuter cet exercice :oops:

Comment peut-on connaitre les coordonnées cartésiennes du point M ?

Merci par avance de m'éclairer :!:

zal
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Messagepar zal » jeu. 23 févr. 2012 12:53

J'essaie d'avancer un peu^^

Montrer que T1 est la composée de 2 transformations simples.

Les 2 transformations sont (z1 : z barre) et (z1 : 1/z )

déduire l'image de D par T1 (donc x= 1 c'est ça ?)

z1= 1/x-iy = 1/1-iy après avoir multiplié par le conjugué on a 1+y/1+y²

Je ne suis pas sur du tout :roll:

Déjà pour 1+y/1+y² j'espère ne pas me tromper dans les signes ! :?
1.f4=1/0

zal
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Messagepar zal » ven. 24 févr. 2012 09:10

z= 1/1+y'² + y'/1+y'²

si x = 1 et y = 0

z=1

si x=1 et y=1

z=1/2 + i

si x=1 et y= -1

z=1/2 + -1/2 i

Est-ce que j'ai le bon raisonnement ou est ce que je fais n'importe quoi ?
1.f4=1/0

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Messagepar marcel » ven. 24 févr. 2012 10:18

Soit T[sub]1[/sub] la transformation complexe tel que , pour qu'à tout point M(z) avec z ≠ 0 on associe M[sub]1[/sub] d'affixe z[sub]1[/sub] tel que: z[sub]1[/sub]= 1/ zbarre

Considérons d'abord z sous sa forme exponentielle :
z= \ro ei \θ , démontre que:
alors z[sub]1[/sub] =(1/ \ro) *ei \θ

Ce qui démontre que O, M, M[sub]1[/sub] sont alignés. Trace une figure semblable à celle de la page http://homeomath2.imingo.net/inversion1.htm
Sur ce dessin place les points U d'affixe 1 et A intersection de (OM) avec le cercle de centre O et de rayon 1 .
La parallèle à (UM) passant par A coupe l'axe des réels en B , alors d'après le théorème de Thalès :
OB/OU=OA/OM soit OB=1/ \ro
Par une rotation de centre O d'angle \θ , le point B a pour image M[sub]1[/sub] d'affixe z[sub]1[/sub];
En effet M[sub]1[/sub] est sur la droite (OM) et le module de z[sub]1[/sub] est ègal à 1/ \ro

On peut aussi dire qu'on obtient le point M[sub]1[/sub] en faisant d'abord une projection du point M suivant la droite (MU) sur l'axe des réels suivi d'une rotation de centre O et d'angle \θ .

Considérons maintenant (D) comme étant l'ensemble des points M d'affixes z tels que: Re(z)=1
Il est aisé de démontrer que (D) est la droite d'équation x=1 . passant par le point U.
Choisissons l'écriture algébrique pour le complexe z et pour le complexe z[sub]1[/sub]
soit z=x+iy lorsque M ∈ (D) alors z=1+i y
et donc .... z[sub]1[/sub] = 1/(1+y²)+y/(1+y²)

Démontre que x[sub]1[/sub]²+y[sub]1[/sub]² = 1/(1+y²)

on obtient la relation: x[sub]1[/sub]²+y[sub]1[/sub]²=x[sub]1[/sub] que l'on transforme en .....
(x[sub]1[/sub]-1/2)²+y[sub]1[/sub]²=1/4

Ceci est l'équation du cercle de centre I(1/2;0) et de rayon 1/2 .

Trace la droite (D) et le cercle .

La droite (D) a pour image un cercle ; la transformation est une inversion complexe.

Marcel

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Messagepar zal » ven. 24 févr. 2012 13:31

Je comprend mieux déjà, enfin en partie :roll:


"Démontre que x1²+y1² = 1/(1+y²)

on obtient la relation: x1²+y1²=x1 que l'on transforme en .....
(x1-1/2)²+y1²=1/4 "

Euh, la j'avoue ne pas comprendre !

Il y a des étapes que je ne maitrise pas :

Démontre que x1²+y1² = 1/(1+y²) ?

Après la multiplication par le conjugué du dénominateur 1/z barre devient 1/(1+y²) j'imagine... Mais quel rapport avec x1²+y1² ?

Merci d'avance, ce site est génial :!:
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Messagepar marcel » sam. 25 févr. 2012 09:02

marcel a écrit :Choisissons l'écriture algébrique pour le complexe z et pour le complexe z[sub]1[/sub]
soit z=x+iy lorsque M ∈ (D) alors z=1+i y
et donc .... z[sub]1[/sub] = 1/(1+y²)+y/(1+y²)

Démontre que x[sub]1[/sub]²+y[sub]1[/sub]² = 1/(1+y²)

on obtient la relation: x[sub]1[/sub]²+y[sub]1[/sub]²=x[sub]1[/sub] que l'on transforme en .....
(x[sub]1[/sub]-1/2)²+y[sub]1[/sub]²=1/4

Ceci est l'équation du cercle de centre I(1/2;0) et de rayon 1/2 .

Trace la droite (D) et le cercle .

La droite (D) a pour image un cercle ; la transformation est une inversion complexe.

Marcel


Quelques explications :
Soit z=x+iy et z[sub]1[/sub]=x[sub]1[/sub]+ i y[sub]1[/sub]

Dans le cas où x=1 alors z[sub]1[/sub]=1/(1- iy) soit
z[sub]1[/sub] = (1 + iy)/(1+y²) ; On multiplie par la quantité conjuguée de 1-iy.
Alors x[sub]1[/sub]=1/(1+y²) et y[sub]1[/sub]=y/(1+y²).

On calcule maintenant le carré du module de z[sub]1[/sub]=x[sub]1[/sub]+ i y[sub]1[/sub]
on obtient: x[sub]1[/sub]²+ y[sub]1[/sub]²
On remplaçant par les valeurs précédentes:
x[sub]1[/sub]²+ y[sub]1[/sub]²=1/(1+y²)² + y²/(1+y²)²
Soit :
x[sub]1[/sub]²+ y[sub]1[/sub]²=(1+y²)/(1+y²)² on simplifie par 1+y² alors:
x[sub]1[/sub]²+ y[sub]1[/sub]²=1/(1+y²)

Comme x[sub]1[/sub]=1/(1+y²) , la relation entre les coordonnées cartésiennes de z[sub]1[/sub] est:
x[sub]1[/sub]²+ y[sub]1[/sub]²=x[sub]1[/sub]

On peut écrire alors: x[sub]1[/sub]²-x[sub]1[/sub] + y[sub]1[/sub]²=0

En utilisant la forme canonique du trinôme du second degré on a:
(x[sub]1[/sub]-1/2)²-1/4 + y[sub]1[/sub]²=0

soit: (x[sub]1[/sub]-1/2)²+ y[sub]1[/sub]²=1/4
revois la page sur l'équation d'un cercle pour conclure.
http://homeomath2.imingo.net/cercle1.htm

Marcel.
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Messagepar zal » lun. 27 févr. 2012 09:14

merci beaucoup :!:
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Messagepar zal » lun. 27 févr. 2012 09:46

Re !
Toujours le même énoncé

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v).
On considère les transformations T1 et T2 qui, au point M d'affixe z, associent respectivement les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2 telles que :
Z1= 1/z barre
Z2= z²

D est l'ensemble des points M d'affixes z tels que: Re(z)=1

Et les nouvelles questions :

2a)Exprimer les coordonnes cartésienne x2 et y2 du point M2 en fonction des coordonnes x et y du point M.

La, c'est comme plus haut:
z2=z²
On pose z=x+iy

z2=(x+iy)²=x²+2ixy+i²y²=(x²-y²)+2ixy

x2=x²-y² et y2=2xy (j'ai bon ?)

2b) En déduire que les images des points D par T2 sont sur une conique dont on précisera une équation.

On remplace x par 1 et effectivement, cela donne une conique.
Mais comment préciser l'équation ? on doit calculer le module ?

3)Déterminer l'ensemble des points dont l'image T2 appartient a D. On trouvera une conique dont on donnera une équation.

Pour cette question, je ne saisi pas la nuance avec la question précedente
1.f4=1/0

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Messagepar marcel » lun. 27 févr. 2012 14:23

zal a écrit :Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v).
On considère les transformations T1 et T2 qui, au point M d'affixe z, associent respectivement les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2 telles que :
Z1= 1/z barre
Z2= z²

D est l'ensemble des points M d'affixes z tels que: Re(z)=1

Et les nouvelles questions :

2a)Exprimer les coordonnes cartésienne x2 et y2 du point M2 en fonction des coordonnes x et y du point M.

La, c'est comme plus haut:
z2=z²
On pose z=x+iy

z2=(x+iy)²=x²+2ixy+i²y²=(x²-y²)+2ixy

x2=x²-y² et y2=2xy (j'ai bon ?)


C'est exact .

zal a écrit :2b) En déduire que les images des points D par T2 sont sur une conique dont on précisera une équation.

On remplace x par 1 et effectivement, cela donne une conique.
Mais comment préciser l'équation ? on doit calculer le module ?

Les points de l'ensemble (D) sont tels que : Re(z)=1 alors x=1, les équations deviennent:
1-y²=x[sub]2[/sub]
et 2y=y[sub]2[/sub] en remplaçant y par y[sub]2[/sub]/2
dans la première équation tu obtiens:
......x[sub]2[/sub]²+y[sub]2[/sub]²/4=1
Consulte les pages:
http://homeomath2.imingo.net/ellipse4.htm et http://homeomath2.imingo.net/ellipse5.htm pour en conclure que tu obtiens une ellipse.
zal a écrit :3)Déterminer l'ensemble des points dont l'image T2 appartient a D. On trouvera une conique dont on donnera une équation.

Pour cette question, je ne saisi pas la nuance avec la question précedente


Il s'agit cette fois ci de déterminer l'ensemble des points M d'affixe z dont l'image par T[sub]2[/sub] ∈ (D)
Dans ce cas on a Re(z[sub]2[/sub])=1
donc x²-y²=1
En consultant les pages
http://homeomath2.imingo.net/hyperbo6.htm , tu en conclus qu'on obtient une hyperbole d'équation x²-y²=1

Pour la représenter trace la courbe y=:rac:(x²-1) et la courbe d'équation y= - :rac:(x²-1)

Marcel
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Messagepar zal » lun. 27 févr. 2012 15:43

Merci de consacrer du temps pour rendre service aux autres !
Chapeau et merci :D
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