Exercices sur la fonction logarithme

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soso02
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Exercices sur la fonction logarithme

Messagepar soso02 » lun. 18 févr. 2013 08:50

Bonjour je n'arrive pas à faire les deux exercices suivants pouvez-vous m'aider?

Exercice 1:
Dans un repère orthonormé la courbe C représente la fonction f définie sur l'intervalle ouvert O; + l'infini par f(x) = 2 ln(x)
m est un nombre strictement positif; M est le point de C d'abscisse m et B son projeté orthogonal sur l'axe des ordonnées. La tangente T en M à C coupe l'axe (OY) en A

1a) Déterminez une équation de T
b)Déduisez en les coordonnées du point A
2a)Comment choisir m pour que le point A soit en O
b)Exprimez l'aire du triangle ABM en fonction de m. Que constatez-vous?

Exercice 2
Dans un repère orthonormé, on a tracé les courbes C et L d'équations respectives: y=e^x et y=ln(x)
On rappelle que pour tout nombre x strictement positif e^x > ln(x)
Le but de l'exercice est de trouver la valeur de x pour laquelle la distance MN est minimale.

1)On note fi la fonction définie sur l'intervalle ouvert O;+ l'infini par
fi(x) = e^x - ln(x)

a)Calculer fi'(x) et démontrer que l'équation fi'(x) = O admet dans l'intervalle ouvert O;+l'infini un unique solution notée alpha
Déterminez une valeur approchée de alpha à 10^-2 près

b)Déduisez en que la distance MN est minimale lorsque x = alpha

2a)Justifier que e^alpha = 1α
b)Déduisez en que les tangentes à C et L aux points d'abscisse alpha sont parallèles.

Merci

marcel
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Messagepar marcel » lun. 18 févr. 2013 19:48

Exercice 1
une équation de T est :
y=2x/m+2(lnm -1)

les coordonnées de A sont x=0 et donc y=2(lnm-1)

2a) le point A est en O si l'ordonnée à l'origine vaut 0 donc si lnm-1=0 donc si m=e

2b) Le triangle ABM a pour aire MB*BA/2
or MB=m
BA=yB-yA soit
BA=2lnm-2(lnm-1)=2

l'aire vaut m.

Exercice 2
soit \phi(x)=e<sup>x</sup>-lnx

alors \phi'(x)=e<sup>x</sup>-1/x
sa dérivée \phi''(x)=e<sup>x</sup>+1/x² cette fonction est tjs positive donc la dérivée \phi'(x) est toujours croissante
de plus lim0+ \phi'(x) = -:inf: et lim+inf \phi'(x)= +:inf:
d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une valeur unique \alpha telle que \phi'(\alpha)=0

tu démontreras que 0.56<\alpha<0.57

Je suppose que \phi(x) représente MN ( ce que tu ne dis pas dans ton énoncé)
Or la fonction \phi(x) admet un minimum en \alpha , à toi de le démontrer

Cette valeur \alpha a été obtenu avec la dérivée donc \phi'(\alpha)=0 signifie e<sup>\alpha</sup>-1/\alpha=0
ce qui prouve que e<sup>\alpha</sup>=1/\alpha

La tangente à la courbe (C) a pour coefficient directeur le nombre dérivé soit e<sup>\alpha</sup> de même la tangente à courbe(L) a pour coeff. 1/\alpha

Comme ces deux nombres sont égaux alors les tangentes sont parallèles.

Marcel
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soso02
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Messagepar soso02 » lun. 18 févr. 2013 21:57

merci beaucoup c'est ce que j'ai trouvée sauf pour l'exercice 1 ou je me suis trompé pour la tangente


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