integrale

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amel
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integrale

Messagepar amel » dim. 24 mars 2013 17:02

Bonjour, J'ai un exercice mais je n'arrive pas à le debuter pourriez vous m'aidez s'il vous plait. Merci
Exercice : Soit la fonction f définie sur R par : f(x)= e^-3x/1+e^-3x On désigne par C sa courbe représentative.
1) Déterminer les limites en + et - infini Puis étudier les variations de f sur R
2) Pour tout réel alpha, on pose : I(alpha)= integrale de f(x)dx
a) Donner le signe et une interpretation graphique de I(alpha) en fonction de alpha
b) Exprimer I alpha en fonction de alpha c) Déterminer la limite de I(alpha) lorsque alpha tend vers +infini.

marcel
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Messagepar marcel » dim. 24 mars 2013 19:46

Soit f'x)=e<sup>-3x</sup>/(1+e<sup>-3x</sup>) avec x ∈ :R:
1) lim+inf f(x)= 0 car lim+inf e<sup>-3x</sup>=0
lim-inf f(x) =1 car lim-inf f(x)=lim-inf e<sup>-3x</sup>/e<sup>-3x</sup>

la dérivée est celle du quotient u/v , la dérivée de e<sup>-3x</sup> étant -3e<sup>-3x</sup>
donc f '(x)=-3e<sup>-3x</sup>/(1+e<sup>-3x</sup>)²

cette dérivée est négative donc f est strictement décroissante.

2)Je suppose que l'intégrale que tu veux étudier est I( \alpha ) définie comme étant l'intégrale de 0 à \alpha , avec \alpha positif ?

Si oui , alors
a)I(\alpha) est positif car f est positive sur [0; \alpha]
I(\alpha ) est l'aire sous la courbe Cf , au dessus de l'axe Ox , entre les droites x=0 et x=\alpha.

b) Pour calculer l'intégrale , il faut définir une primitive de f(x) or on remarque qu'en posant u=1+e<sup>-3x</sup> alors f(x)=-1/3* u'/u
sa primitive F est telle que F(x)= -1/3*ln(1+e<sup>-3x</sup>)

ensuite I(\alpha)= F(\alpha)-F(0)

et sa limite en + :inf: est 1/3*ln2

Marcel
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