droite et plan de l'espace

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amel
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droite et plan de l'espace

Messagepar amel » dim. 7 avr. 2013 11:41

Bonjour,
J'ai un exercice sur la representation parametrique d'une droite , je l'ai fait mais je sais pas si c'est correcte , pourriez vous me corriger ou me completer. Merci de votre aide .

Qcm. On se place dans le repere (O,I,J,K) de l'espace. Deterliner toutes les bonnes reponses.

1) Soient A(1;1;-1) , B(2;-1;1) et (AB) a pour representation paramétrique , avec t E R
a. { x= 1+2t , y=1-1t, z=-1-t
b. {x=2+t,y=-1-2t,z=1+2t
c. { x=4+3t ,y=7+6t, z=-1

2. La droite D de representation parametrique
{ x=2-t, y=6-2t, z=-2+t
A. est secante avec l'axe (OK);
b.coupe le plan (OIK) en l(-1;0;1)
c. Passe par le point C (1;4;-1)
d. Est secante avec l'axe (OJ)

3. La droite D definie a la question 2) ,a pour vecteur directeur
a. :vecteur u: (2,6,-2)
b. :vecteur u: (1,2,-1)
c. :vecteur u: (-3,-6,3)
4. La droite D definie a la question 2, et la droite D' de representation parametrique { x=1+2t' , y=-2+7t', z= 1-3t'
a. Non coplanaores;
b. stricement paralleles
c. Coplanaires et non paralleles

J'ai fait ;
1.on calcule le vecteur AB( 1,-2,2)
Qui est le vecteur directeur . Donc la reponse b est celle qui est correcte.
2. Je n'est pas compris
3.reponse a,
On calcule a l'aide de la representation parametrique de la droite D ,deux points
2-0=2 , 6-2*0=6, -2*0=0
A(2,6,0)
Pour le point B:
2-1=1, 6-2=4, -2*1=-2
B(1,4,-2)
Vecteur AB(-1,-2,,2)
Donc le vecteur directeur u est (2,6,-2) ' reponse a.
4. Je ne sais pas comment faire.
merci de votre aide

marcel
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Messagepar marcel » lun. 8 avr. 2013 18:11

Question 1) exact
Question 2)
A. (D) est secante avec l'axe (OK) , dans ce cas le point d'intersection est tel que x=0 , y=0 et z=k , ce qui implique t=2 et t=3 impossible.
b.(D) coupe le plan (OIK) en l(-1;0;1), dans ce cas y=0 ce qui est réalisé pour t=3 et ainsi x=-1, y=0, z=1 ( ces réponses sont obtenues en remplaçant t par 3 dans les équations paramétriques de la droite (D). Réponse Vraie
c. (D) Passe par le point C (1;4;-1) dans ce cas t=1 ce qui entraîne x=1, y=4 , z=-1 Réponse vraie
d. (D) Est secante avec l'axe (OJ) , dans ce cas le point d'intersection est tel que x=0 et z=0 c qui est réalisé pour t=2 et alors on a x=0, y=2 et z=0
réponse vraie

question 3)
Il faut d'abord revoir la page:
http://homeomath2.imingo.net/paramdr.htm
ainsi un :vecteur u: de coordonnées (-1;-2;1)est vecteur directeur de (D) et tout autre vecteur colinéaire à :vecteur u: l'est aussi.
la réponse a) est fausse, la b) est vraie ainsi que la c).

Question 4)

les droites (D) et (D') sont parallèles si leur vecteur directeur sont colinéaires or celui de (D) est :vecteur u: (-1;-2;1) et celui de (D') est :vecteur u': (2;7;-3) ; les coordonnées ne sont pas proportionnelles donc les droites ne sont pas parallèles;
Les droites sont sont coplanaires si elles ont un point commun ,
pour l'obtenir on résout les équations:
1+2t'=2-t
-2+7t'=6-2t
1-3t'=-2+t

la seule valeur est t'=2 ou t=-3
Donc les droites sont coplanaires

Marcel
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Messagepar amel » mar. 9 avr. 2013 18:23

Bonsoir, je ne comprend pas la question 2)d ) et la 3 et la 4) je ne trouve pas les memes resultats que vous pour la representation parametrique pour montrer que les doites sont secantes, merci de votre aide.

amel
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Messagepar amel » mer. 10 avr. 2013 13:40

Bonjour,
Pour la 2)a) (D) est sécante avec l'axe (OK) car t= 1 , lorsque l'on remplace le t par 1 dans la représentation paramétrique et que l'on trouve :
x=1
y=4
z=-1
Est-ce correcte s'il vous plait ? merci

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Messagepar marcel » mer. 10 avr. 2013 19:52

Faux , tout point de l'axe (OK) est tel que x=0, y=0 et z=k , k nombre réel
si x=0 comme ce point est aussi sur la droite (D) le nombre x =2-t vaut 0 pour t=2,
et aussi il faut que y=0 ce qui entraine que y=6-2t=0 ce qui est réalisé pour t=3
pour définir un point , on ne doit avoir qu'une seule valeur de t , ce qui n'est pas le cas ici
conclusion la drote (D) ne coupe pas l'axe 5oK).

Marcel
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Messagepar amel » jeu. 11 avr. 2013 12:50

Bonjour,
J'aimerai savoir a la question 4) comment faites vous pour trouver t'=2 et t=-3 car je n'arrive pas à trouver sa . Merci

marcel
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Messagepar marcel » jeu. 11 avr. 2013 19:17

pour la question 4) on résout le système en prenant deux équations sur les trois au choix et on vérifie que pour la valeur de t et de t' l troisième est vrie;

Marcel
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Messagepar amel » jeu. 11 avr. 2013 20:29

Bonsoir,
J'ai fait :
2-t=1+2t'.
6-2t=-2+7t'
-2+t=1-3t'.

<=> x=2-t
y=6-2t
z=-2+t
2-t=1+2t'
6-2t=-2+7t'
-4+2t=-5t'

<=> t=3
t'=2
x=0
y=6
z=-5

C'est correcte ? S'il vous plai . Merci

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Messagepar marcel » ven. 12 avr. 2013 20:31

la réponse est t=-3 et t'=2
Ainsi le point d'intersection a pour coordonnées (5;12;-5)

Marcel.
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