maximisation et minimisation d'une fonction

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maximisation et minimisation d'une fonction

Messagepar univers » ven. 10 mai 2013 21:06

Bonsoir, J'ai un petit exercice si vous pouvez m'éclairer le chemin:
Nous voulons construire une piramide de base carrée de forme que la surface totale des quatres visages triangulaires de la piramide soit de 10 m2. La piramide doit contenir une hauteur h et une base de coté L. donner les dimensions de h et L pour que son volume soit maxim.
Merci d'avance.
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marcel
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Messagepar marcel » sam. 11 mai 2013 16:12

la base carrée a pour côté L et h est la hauteur de la pyramide donc la hauteur H de chaque face triangulaire est telle que h²+(L/2)²=H²

d'où H= :rac: (h²+L²/4)

La surface totale des 4 faces est donc S=4*L/2* :rac: (h²+L²/4) et ce nombre est égal à 10
Donc une relation liant h et L est:
L²(h²+L²/4)=25 dont on peut extraire h²

ainsi h²=25/L²-L²/4

Le Volume de la pyramide est V=1/3*L²*h et en utilisant la relation précédente

V=L/6:rac:(100-L<sup>4</sup>)

Cette fonction admet un maximum si sa dérivée s'annule ; or celle ci est:
V'=(100-3L<sup>4</sup>)/:rac:(100-L<sup>4</sup>)

cette dérivée s'annule oour L= rac(10) / :rac: rac(3) nombre que l'on peut écrire:
L=rac(10)*3<sup>3/4</sup>/3.

Marcel
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univers
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Maximisation et minimisation

Messagepar univers » sam. 11 mai 2013 18:04

Salut Marcel, merci tout d'abord pour votre reponse et votre effort.
Jusqu'ici:
Donc une relation liant h et L est:
L²(h²+L²/4)=25 dont on peut extraire h²

----------
Je pense qu'il manque un 4 :
4L²(h²+L²/4)=25
Si je me trampe pas.

Merci beaucoup.
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Maximisation et minimisation

Messagepar univers » sam. 11 mai 2013 18:53

Pardon, L²(h²+L²/4)=25 est correcte
Mais sur la ligne :
V=L/6(100-L4)
Où il est parti le denominateur L² ?
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marcel
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Messagepar marcel » dim. 12 mai 2013 08:32

Le volume de la pyramide est V=1/3*L²*h

avec h= :rac:[25/L²-L²/4 ] on obtient:

V=L²/3*:rac:[(100-L<sup>4</sup>)/4L²] ; on extrait de la racine le dénominateur 2L et en simplifiant avec L²/3 on obtient:

V=L/6:rac:(100-L<sup>4</sup>)

Marcel
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Messagepar univers » dim. 12 mai 2013 09:49

Salut Marcel,
Tu as totalment raison, seulement moi j'ai pas simplifier, en fin j'ai trouvé L=2,40

Merci beaucoup. :D
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