Homothétie du plan ou de l'espace

L' homothétie de centre I et de rapport k ( où I est un point et k un réel non nul ) est une transformation du plan ou de l'espace .
C'est la transformation du plan ou de l'espace qui à tout point M du plan ou de l'espace associe le point M' tel que
Notation : hI,k ou h si il n'y a pas de confusion possible.


Quelque cas particulier :
- si k = 1, l'homothétie est l'identité du plan ou de l'espace
- si k= -1, l'homothétie est la symétrie centrale de centre I
( applet geogebra )
- si |k| > 1 c'est à dire si k < -1 ou k > 1 , l'homothétie est un agrandissement
Image d'un triangle par une homothétie agrandissante <
- si |k| < 1 c'est à dire si k ∈ ]-1; 1[ , l'homothétie est une réduction
image d'un triangle par une homothétie réductrice k < -1 : agrandissement-1 < k < 0 : réduction Image d'un triangle par une homothétie agrandissante négativeImage d'un triangle par une homothétie réductrice négative L'homothétie n'est pas une isométrie sauf pour k = 1 et k = -1 :
- elle multiplie les distances par |k|
- elle multiplie les aires par k²
- elle multiplie les volumes par |k|3
- l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle.
- l'image d'un plan est un plan parallèle ( homothétie de l'espace).
- l'image du cercle C(O ; R) et le cercle C(O' ; |k|R ) ou O' = h(O)
- l'image d'une sphère S(O ; R) et la sphère S(O' ; |k|R ) Ce qui suit est hors programme lycée :
Considérons l'application vectorielle associée à l'homothétie h de centre I et de rapport k , déterminons l'image d'un vecteur par :
Soient M et N deux points du plan ou de l'espace tels que = et M', N' leurs images respectives par h on a :
l'application vectorielle est linéaire de l'espace vectoriel des vecteurs du plan ou de l'espace
par conséquent h est une application affine.
Les homothéties font partie du groupes des dilatations. Traduction analytique d'une homothétie
Dans l'espace muni du repère (O; ;; ) soit M(x ; y ; z) un point quelconque et M'(x' ; y' ; z') son image par l'homothétie h de centre I(a ; b; c) et de rapport k on a :

ce qui s'écrit sous forme matricielle par :

cela vient du fait que l'homothétie vectorielle associée est telle que :