Compositions d'isométries du plan

Composée de deux symétries orthogonales

Soient SD et SD' deux symétries orthogonales respectivement d'axe D et D' .

Composée de deux translations
la composée de la translation t suivie de la translation t est une translation de vecteur + :
t o t = t+


Composée de deux rotations
On considère deux rotations r1 et r2 de centres respectifs O1 et O2, et d'angle respectif de mesure 1 et 2 , la composée de de ces deux rotations peut être suivant les cas une rotation d'angle d'angle 1 + 2 ou bien une translation.


démonstration, on décompose les deux rotations en composée de symétrie axiale. Si on pose 1 et 2, les droites passant respectivement par O1 et O2 sont telles que :
mes ( (O1O2), 1) = - 1 /2 et mes ( (O1 O2), 2) = 2 /2
posons S1 , S2 et S les reflexions d'axes respectifs (O1O2), 1, 2
r2 o r1 = (S2 o S )o( S o S1) = S2 o (S o S ) o S1 = S2 o S1
on a de plus mes ( 1 , 2) = 1 /2 + 2 /2 = (1 + 2 )/2