Lignes de niveau dans le plan ( définition équivalente dans l'espace )
Application du plan dans 
Lorsqu' à tout point M du plan on associe un nombre
réel k on définie une application du plan dans
Exemple d'application simple
Soit A un point fixé du plan,
si à tout point M du plan on
fait correspondre la distance AM
du point M au point A
on définit une application :
On pourrait dire soit l'application f définie par
:
f(M) = AM
le
réel k est ici la distance
AM
l'image de A est 0 par cette application en effet :
f(A) = AA = 0
l'image de tout point du cercle de centre A et de rayon 3 est le
nombre 3.
(Cette
application est à valeur dans [0 ; +
[
)
Ligne de niveau
A partir de la, on peut se demander pour un réel k
fixé quels sont les points M du plan qui ont pour
image k ?
Cet ensemble (éventuellement vide ) est appelé ligne
de niveau k de l'application f .
On note généralement Lk la ligne de niveau
k de l'application.
Remarque
: Il faut rapprocher cette notion de la notion d'antécédent
pour une fonction numérique.
Par rapport à l'exemple choisi ci-dessus :
* tous les points du cercle de centre A est de rayon 3 ont pour
image 3 par f et ce sont les seuls donc
L3 est le cercle de centre A et de rayon 3
* (-4) n'a pas d'antécédent par f donc L-4
= 
* 0 n'a qu'un seul antécédent : le point A
L0 = {A}
Pour déterminer des lignes de niveau vous devez connaître
les lieux géométriques
les plus classiques, les propriétés métriques
et vectorielles, vous aurez souvent aussi à utiliser le produit
scalaire.
Lignes de niveau de l'application f définie par :
- f(M)
=
.
- f(M)
=
. 
- f(M) = MA² - MB²
- f(M) = MA² + MB²
- f(M) = MA² - b² MB²
- f(M) = αMA² + βMB²
