limites de fonctions polynômes et quotient de polynômes
- Limite en - ∞
et + ∞
d'une fonction polynôme
: on ne peut en général pas se servir des opérations sur les
limites comme le montre l'exemple ci-dessous.
Soit la fonction f définie sur
par f(x) = 2x3+ x² + 2
en ∞ , il n'y a pas de problème
:
c'est une somme de limites.
par contre en -∞,
si on utilise la même méthode que précédemment on ne peut pas
conclure :
on est devant une "forme indéterminée", dans ce cas
on factorise par xdegré
du polynôme avant de déterminer la limite en -∞
:
L'expression obtenue n'est plus une somme mais un produit :
- Limite en a ( ou a est un réel donné
) d'une fonction polynôme
Si f est une fonction polynôme définie en a, alors
autrement dans le cas d'un polynôme définie en a , limite et image
coïncident.
Exemple :
Soit la fonction f définie sur
par f(x) = 2x3+ x² + 2
Limite d'un quotient de polynômes
en - ∞ et en ∞ :
vous utilisez la même méthode pour factoriser le dénominateur
et le numérateur de l'expression puis vous simplifiez l'expression
obtenue et en fait vous calculez la limite comme le montre l'exemple
ci-dessous.
Soit la fonction f définie sur
par :
On transforme l'expression de f(x) comme c'est expliqué plus haut
:
On calcul la limite du numérateur, puis du dénominateur et on
en déduit la limite du quotient :
- Limite en a ( ou a est un réel donné
) d'une fonction f quotient de polynômes f(x) est alors de la
forme :
( ou p(x) et q(x) sont deux polynômes )
- premier cas : si le dénominateur
ne s'annule pas en a, dans ce cas pas de problème
- second cas si seul le dénominateur
q(x) s'annule en a
dans ce cas on calcule la limite du numérateur p(x) en a, on étudie
le signe du dénominateur q(x) suivant les valeurs de x ( il se
peut par exemple que pour x < a, q(x) < 0 et que pour x
> a , q(x) >0 ou inversement ) on exprime le résultat obtenu
avec
etc... puis on utilise les opérations sur les limites, si on a
0+ pour la limite au dénominateur et un résultat positif
au numérateur la limite sera ∞ par exemple.
Exemple : soit la fonction f définie sur [0 ; 1[
]1; +∞[ par
on veut déterminer les limites de f en 1, seul le dénominateur
s'annule en 1.
Calculons la limite du numérateur en 1 :
étudions le signe du dénominateur x² + x - 2 sur l'ensemble
de définition de f.
en calculant le discriminant
de x² + x - 2 on trouve 2 racines - 2 et 1 on en déduit
le signe de x² + x - 2
On en déduit
et par conséquent :
troisième cas : si le dénominateur
et le numérateur s'annule en a factoriser numérateur et dénominateur
avec la méthode de la racine et simplifier la fraction au maximum
vous n'avez plus qu'à utiliser les méthodes vues dans les deux
autres cas.
- Exercice
intéractif