Applications linéaires d'un espace vectoriel

Soient et ' deux espaces vectoriels sur .
Une application linéaire ( ou homomorphisme ) f de vers ' est une application possédant les 2 propriétés :

une application possédant la première propriété est dite additive, une application possédant la seconde propriété est dite homogène.
Remarque : on peut prouver directement que pour tous vecteurs et de et tous réels a et b on a :
f(a . +b.) = a f() + b f().

Cas particuliers
L'application linéaire f de dans ' est un :

Quelques exemples d'applications linéaires d'espaces vectoriels :
Soit un espace vectoriel , k un réel non nul fixé

  1. L'homothétie vectorielle
  2. L'identité vectorielle
  3. La projection vectorielle
  4. Les isométries vectorielles du plan

Matrice d'une application linéaire
Soit f une application linéaire de dans ', où et ' sont deux espaces vectoriels sur .
Soient (1,2,....., n) et (1,2,.....,p) desbases respectives des espaces vectoriels et ' ( dim = n et dim ' = p) il existe des nombres uniques aij i ∈ {1;2;3;....; p} et j ∈ {1;2;3;....; n} tels que
f (1) = a11 1 + a122 + ........a1pp
f (2) = a21 1 + a222 + ........a2pp
....
f (n) = an1 1 + an22 + ........anpp

La matrice (aij) (i;j)∈ {1;2;3;....; p}x{1;2;3;....; n} :

est la matrice de l'application linéaire f relativement aux bases choisies
(1,2,....., n) et (1,2,.....,p).

Image d'une application linéaire d'espaces vectoriels
Soit f une application linéaire de vers ', on appelle image de l'application f (noté Im f) l'ensemble des vecteurs
f(
) ou décrit l'ensemble :
Im f = {f() ; }
Propriété :
Im (f) est un sous espace vectoriel de '( il suffit de prouver que Imf est stable pour les deux lois ...)
Noyau d'une application linéaire d'espaces vectoriels
Le noyau d'une application linéaire f (noté : Ker(f)) d'un espace vectoriel vers un espace vectoriel ' est l'ensemble des vecteurs de dont l'image est le vecteur nul de '.
Propriété :
Ker(f) est un sous espace vectoriel de
.

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