antécédent d'un vecteur par une application linéaire de R3

A - Si l'application linéaire est bijective
Soit l'application linéaire f définie sur 3 et à valeur dans 3 par :
f (x ; y ; z ) = (-x + 2y + 5z ; x + 2y + 3z ; -2x + 8y + 10z )
Pour déterminer l'antécédent d'un vecteur (25 ; 19 ; 62) :
1. on peut résoudre le système :

l'antécédent de (25 ; 19 ; 62) est donc le vecteur (1 ; 3 ; 4)
2. on peut calculer l'image de (25 ; 19 ; 62) par l'application inverse de f :
la matrice associée à f est :

si (x ; y ; z) est un antécédent de (25 ; 19 ; 62) on a :

( pour calculer la matrice inverse de A c'est à dire A-1 voir ce lien )

B - Si l'application n'est pas bijective
Soit l'application linéaire f définie sur 3 et à valeur dans 3 par :
f (x ; y ; z ) = (x +3y + 5z ; 2x + 4y + 6z ; 3x + 7y + 11z )
Pour déterminer le(s) antécédent(s) d'un vecteur (17 ; 24 ; 41) :
1. on peut résoudre le système :

ce système admet tous les couples (2 + z ; 5 -2z ; z) ou z décrit l'ensemble des réels.
Autrement dit le vecteur (17 ; 24 ; 41) admet une infinité d'antécédents.
L'ensemble des antécédents de (17 ; 24 ; 41) forme un ensemble de dimension 1 puisque les éléments de cet ensemble ne dépendent que d'un seul paramètre z.
( il y a des cas ou il n'y a pas d'antécédents )
2. on peut utiliser la matrice associée :

déja en calculant le déterminant ( voir ce lien ) de cette matrice on pourra voir que celui -ci est nul donc l'application n'est pas bijective, on sait donc que l'antécédent du triplet (17 ; 24 ; 41) ne sera pas réduit à un seul élément ou bien n'existera pas.