Image d'une application linéaire de R3

A - L'application est bijective
Soit l'application linéaire f définie sur 3 et à valeur dans 3 par :
f (x ; y ; z ) = (-x + 2y + 5z ; x + 2y + 3z ; -2x + 8y + 10z )
on veut déterminer l'image de cette application c'est à dire l'ensemble des vecteurs f (x ; y ; z) de 3 où (x ; y ; z) décrit 3 , si l'application est bijective , l'image de f est l'ensemble de tous les vecteurs de 3 puisque tout vecteur de 3 admet un seul antécedent par f.
Img f = 3
( on peut montrer également que le rang de la matrice associée A est 3 ).

B - L'application n'est pas bijective
Soit l'application linéaire f définie sur 3 et à valeur dans 3 par :
f (x ; y ; z ) = (x +3y + 5z ; 2x + 4y + 6z ; 3x + 7y + 11z )
on veut déterminer l'image de cette application :
la dimension de l'image est égale au rang de la matrice associée :


dim Img f = rang A = 2.

Im f = { (x ; y ; z ) 3 ; x - 2y + z = 0 }
on peut déterminer une base de vecteur de Im f

les vecteurs (2 ; 1 ; 0) et (-1 ; 0 ; 1) forment une base de Im f.