A - L'application est bijective
Soit l'application linéaire f définie sur 3
et à valeur dans 3
par :
f (x ; y ; z ) = (-x + 2y + 5z ; x
+ 2y + 3z ; -2x + 8y + 10z )
on veut déterminer l'image de cette application c'est à
dire l'ensemble des vecteurs f (x ; y ; z) de 3
où (x ; y ; z) décrit 3
, si l'application est bijective , l'image de f est l'ensemble de tous
les vecteurs de 3
puisque tout vecteur de 3
admet un seul antécedent par f.
Img f = 3
( on peut montrer également que le rang de la matrice associée
A est 3 ).
B - L'application n'est
pas bijective
Soit l'application linéaire f définie sur 3
et à valeur dans 3
par :
f (x ; y ; z ) = (x +3y + 5z ; 2x
+ 4y + 6z ; 3x + 7y + 11z )
on veut déterminer l'image de cette application :
la dimension de l'image est égale au rang de la matrice associée
:
dim Img f = rang A = 2.
Im f = { (x ; y ; z ) 3
; x - 2y + z = 0 }
on peut déterminer une base de vecteur de Im f
les vecteurs (2 ; 1 ; 0) et (-1 ; 0 ; 1) forment une base de Im f.