matrices semblables, matrice d'une application linéaire dans une nouvelle base

Coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base :
On considère deux bases d'un espace vectoriel de dimension n :
(1,2,....., n) et (1,2,.....,n) ,
Les vecteurs 1,2,.....,n ont pour coordonnées
1 (p11 ; p21 ; ...... ; pn1)
2 (p12 ; p22 ; ...... ; pn2)
....
n (p1n ; p2n ; ...... ; pnn)
dans la base (1,2,....., n)
Quelque soit le vecteur de on peut considérer indifféremment ses coordonnées (x1; x2 ; x3 ; ....; xn) dans la base (1,2,....., n) ou ses coordonnées (y1; y2 ; y3 ; ....; yn) dans la base (1,2,.....,n) on a :
=x11+ x22 +....+ xnn = y11+ y22 +....+ynn

ce qui équivaut à (y1; y2 ; y3 ; ....; yn) solution du système :

p11 y1 + p12y2 + ...+ p1n yn = x1
p21 y1 + p22y2 + ...+ p2n yn = x2
....
pn1 y1 + pn2y2 + ...+ pnn yn = xn

En utilisant la notation matricielle :
P = (pij), X = (xi) , Y = (yi) avec 0 i , j n on a :
X = PY , la matrice P étant inversible on a Y = P-1X
Remarques : X et Y sont respectivement les coordonnées du vecteur de ( matrice vecteur colonne ) dans les bases
(1,2,....., n) et (1,2,.....,n) .
La matrice P est appelée matrice de passage.

Matrice d'une application linéaire dans une nouvelle base :
On considère :

  • une application linéaire a de matrice dans la base
    (1,2,....., n) et de matrice B dans la base
    (1,2,.....,n) , n =
  • soit de coordonnées X dans la base (1,2,....., n)
    et Y dans la base (1,2,.....,n) .
  • soit l'image du vecteur de coordonnées X' dans la base (1,2,....., n) et Y' dans la base
    (1,2,.....,n)
  • soit la matrice de passage de la base
    (1,2,....., n) à la base (1,2,.....,n) .

En utilisant la notation matricielle :
X' = AX , Y' = BY , X = PY, X' = PY'
X' = AX
PY' = AX P-1PY' = P-1AX Y' = P-1AX Y' = P-1APY
or Y' = BY on a donc = P-1AP
on dit que les matrices A et B sont semblables.