equation z et z barre

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Nina Cath
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equation z et z barre

Message par Nina Cath » sam. 23 mai 2020 10:49

bonjour monsieur, pourriez vous mettre la correction de ces équations si possible? https://homeomath2.imingo.net/exercices ... uation.pdf

Cordialement
Nina

M Saint-Martin
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Re: equation z et z barre

Message par M Saint-Martin » sam. 23 mai 2020 19:57

Capture du 2020-05-23 21-52-13.png

1) 2iz + 3 = i ⟺
2iz = -3 + i ⟺
z = (-3 +i)/(-2i) ⟺
z = ((-3 + i)i)/(-2i2)
= (-3i - 1)/2
= -½ - 3/2 i
2) z - 2 = 3iz + i ⟺
z - 3iz = 2 + i ⟺
(1 - 3i)z = 2 + i ⟺
z = (2 + i)/(1 - 3i)
= (2 + i)(1 + 3i)/10
= (2 + 6i + i - 3)/10
= (-1 + 7i)/10
= -1/10 + 7/10 i
3) z + 4/z = 0 ⟺
z ≠ 0 et (z2 + 4)/z = 0 ⟺
z ≠ 0 et z = ± 2i
deux solutions z1 = -2i , z2 = 2i
4) résolution avec z ≠ -i
(z - i)/(z + i) = 3i ⟺
z - i = 3i z - 3 ⟺
z - 3iz = -3 + i ⟺
z(1 - 3i) = (-3 + i) ⟺
z = (-3 + i)/(1 - 3i)
= (-3 + i)(1 + 3i)/10
= (-3 - 9i + i - 3)/10
= (-6 - 8i)/10
= -3/5 - 4/5 i
5) z + i = 2z - 1
posons z = x + iy où x et y sont des réels
et ensuite on utilise deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire
z + i = 2z - 1 ⟺
x - iy + i = 2(x + iy) - 1 ⟺
x + i(1 - y) = 2x - 1 + 2iy ⟺
{x = 2x - 1 ⟺
{1 - y = 2y
{x = 1 ⟺
{y = 1/3
la solution est z = 1 + 1/3 i
6) résolution avec z ≠ 0
(z + 1)/z = z ⟺
(z + 1) = |z|2 ⟺ ( en posant z = x+ iy...)
x + iy + 1 = x2 + y2
(x2 + y2 - x - 1) - iy = 0 ⟺
x2 + y2 - x - 1 = 0 et y = 0 ⟺
x2 - x - 1 = 0 et y = 0
Δ = 5 donc l'équation x2 - x - 1 admet deux solutions réelles distinctes :
x1 = (1 - √(5))/2
x2 = (1 + √(5))/2
donc l'équation admet deux solutions réelles
z1 = (1 - √(5))/2
z2 = (1 + √(5))/2
7) z2 - 4z = 5 ⟺
z2 - 4z - 5 = 0
Δ = 16 + 20 = 36 >0 donc deux solutions réelles distinctes :
z1 = (4 - 6)/2 = -1
z2 = (4 + 6)/2 = 5
8) 4z2 + 10 = -12z ⟺
4z2 + 12z + 10 = 0 ⟺
Δ = 144 - 160 = -16 < 0 donc deux solutions complexes conjuguées :
z1 = (-12 - 4i)/8 = -3/2 - ½ i
z2 = -3/2 + ½ i
9) z2 + 2 cos(π/8) z + 1 = 0
Δ = 4 cos2 (π/8) - 4 = 4(cos 2(π/8) - 1) = - 4 sin2 (π/8) <0 donc deux solutions complexes conjuguées :
z1 = 2 cos(π/8) - 2 i sin(π/8) = 2e-i π/8
z2 = 2 cos(π/8) + 2 i sin(π/8) = 2ei π/8
10) (z + 3)/z = (z + 1)/(z + 2)
résolution avec z ≠ 0 et z ≠ -2
(z + 3)(z + 2) = (z + 1)z ⟺
z2 + 5z + 6 = z2 + z ⟺
4z = -6 ⟺
z = -6/4 = -3/2
11)
z2 + 2z = 0
posons z = x + iy où x et y sont des réels
z2 + 2z = 0 ⟺
(x + iy)2 + 2(x - iy) = 0 ⟺
x2 + 2xy i - y2 + 2x - 2y i = 0 ⟺
(x2 + 2x - y2) + 2y(x - 1)i = 0 ⟺
{x2 + 2x - y2 = 0
{2y(x - 1) = 0 ⟺
{x2 + 2x - y2 = 0
{x = 1 ou y = 0 ⟺
{3 - y2 = 0
{x = 1
ou y = 0 et x(x - 2) = 0 ⟺
{y = ± √ 3
{x = 1
{x = 0 ou x = 2
{y = 0
au total 4 solutions :
z1 = 1 + i √ 3
z2 = 1 - i √ 3
z3 = 0
z4 = 2
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Nina Cath
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Re: equation z et z barre

Message par Nina Cath » dim. 24 mai 2020 16:18

merci pour votre correction! je n'ai pas compris pour la dernière équation pourquoi on a 4 solutions?

M Saint-Martin
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Re: equation z et z barre

Message par M Saint-Martin » dim. 24 mai 2020 19:26

Nina Cath a écrit :
dim. 24 mai 2020 16:18
merci pour votre correction! je n'ai pas compris pour la dernière équation pourquoi on a 4 solutions?
tu arrives à (x2 + 2x - y2) + 2y(x - 1)i = 0
ce nombre est complexe est nul si et seulement si :
sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire est nulle donc
x2 + 2x - y2 + 2y(x - 1)i
le et et le ou sont très important ici
quand on a une propriété A et B où A et B sont des propriétés ( des égalités par exemples ) on peut la représenter sous forme d'un système
{A
{B
le système correspond à un et
la partie réelle de ce nombre complexe est :
x2 + 2x - y2 = 0 et 2y(x - 1) = 0
x2 + 2x - y2 = 0 et (2y = 0 ou x - 1 = 0)
le et est distributif par rapport au ou
si A , B et C sont des propriétés :
A et (B ou C) c'est pareil que (A et B) ou (A et C)
(comme la multiplication par rapport à l'addition A x (B + C) = A x B + A x C )
ce qui donne encore :
(x2 + 2x - y2 = 0 et y = 0) ou (x2 + 2x - y2 = 0 et x = 1)
en reportant y dans l'équation et x dans l'équation on obtient :
(x2 + 2x = 0 et y = 0) ou (3 - y2 = 0 et x = 1) ⟺
(x(x + 2) = 0 et y = 0) ou [(y = √ (3) ou y = - √ (3) ) et (x= 1)] ⟺
[((x = 0 ou x = -2) et y = 0 ] ou [(y = √ (3) ou y = - √ (3) ) et (x= 1)] ⟺
(x = 0 et y = 0) ou (x = -2 et (y = 0) ou (y = √ (3) et x = 1) ou (y = - √ (3) et x= 1)
le ou correspond à une ⋃, il y a donc 4 couples (x ; y) possibles donc quatre solutions complexes possibles
j'espère que ce n'est pas trop compliqué c'est un problème de logique.

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