Problème du bac sti (GET,GEL,GO)

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur par g(x) = ex(x + 3) -1
1. Déterminer la limite de g en + ∞ et la limite de g en - ∞.
2. Déterminer, à l'aide de la dérivée g', le sens de variation de g. En déduire le tableau de variation de g.
3. Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique α qui appartient à l'intervalle ]-4 ; 0[.
4. Déduire des questions précédentes le signe de g(x) en fonction des valeurs de x.
Partie B: Étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative
Soit f la définie sur par : f(x) = -x + (x + 2)ex
On note (Cf) la courbe représentative de f dans le repère orthogonal (O ; ; ) ( Unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 3 cm sur l'axe des ordonnées )
1. a. Déterminer la limite de f en -∞.
b. Montrer que la droite d'équation y = -x est asymptote à courbe (Cf) en -∞.
c. Étudier, en fonction des valeurs de x, les positions relatives de (D) et Cf
2. En remarquant que f(x) peut s'écrire

déterminer la limite de f en + ∞.
3. Vérifier que pour tout réel, on a f'(x) = g(x)
4. Dresser le tableau de variation de f.
5. Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf) en son point A d'abscisse 0.
6. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de α à 10-2 près, puis une valeur approchée de f(α) à 10-2 près.
7. Tracer, dans le repère (O ; ; )? la courbe (Cf), la tangente (T) et l'asymptote (D).
(Utiliser la feuille de papier milimétré fournie)
Partie C.
1. Soit H la fonction définie sur par H(x) =(x + 1)ex. Calculer H'(x) puis en déduire une primitive de f sur .
2. Calculer en cm² , l'aire A comprise entre la courbe (Cf) , l'axe des abscisses , la droite d'équation y = -2 et l'axe des ordonnées. On donnera la valeur approchée à 10-2 près.
correction
Partie A :
1.

2. La fonction g est dérivable sur et on a

ex > 0 sur donc g'(x) est du signe de x + 4
On en déduit les variations de g



g(-4) = e-4(- 4 + 3) -1 = -e-4 -1

3.
g(0) = e0(0 + 3) -1 = 3 - 1 = 2

donc l'équation f(x) = 0 admet une solution unique α sur l'intervalle [-4 ; 0 ] (théorème de la bijection)
4.

pour x ∉ ]- ∞; a] , g(x) < 0
pour x ∉ [α ; +∞ [, g(x) ≥ 0

Partie B.
1.a

1.b

donc la droite d'équation y = -x est asymptote à courbe (Cf) en -∞.
1.c.
f(x) - (-x) = (x + 2)ex est du signe de (x + 2)

  • si x < -2 , la courbe Cf est au dessous de la droite d'équation D : y = - x .
  • si x ≥ -2 , la courbe Cf est au dessus de la droite d'équation D : y = - x .

( voir position relative de 2 courbes )
2. L'expression

est obtenue en mettant ex en facteur dans f(x).

3. f est dérivable sur et :

4. On a déterminer le signe de g(x) à la question 4 de la partie A, on peut donc en déduire les variations de f et dresser le tableau de variation de f.
- sur ]- ∞; a] f'(x) < 0 et f est décroissante
- sur [α ; +∞ [ f'(x) > 0 et f est croissante
f atteint son minimum en α.

5. f '(0) = g(0) = 2 d'après la question 3 de la partie A
f(0) = - 0 + ( 0 + 2)e0 = 2
l'équation de la tangente au point A d'abscisse 0 :
y - f(0) = f '(0) ( x - 0)
y - 2 = 2x
y = 2x + 2.
6. On peut utiliser la méthode de dichotomie que l'on peut programmer sur calculatrice graphique. On trouve ainsi
f(-0,80)<0 et f(-0,79) > 0 donc une valeur approchée de α à 10-2 près est α -0,79.
Valeur approchée de f( α) 1,34 ( pour trouver cette valeur sur la calculatrice on est obliger de laisser les deux fonctions f et g dans le même tableau).
7.

Partie C.
1. La fonction H est dérivable sur et
H'(x) = ex + (x + 1)ex = ex (x + 1 + 1) = ex(x + 2)
donc la fonction h définie sur par h(x) = ex(x + 2) admet H comme primitive sur .
f est dérivable sur , soit F une primitive de f sur :
f(x) = -x + ex(x + 2)
F(x) = -x²/2 + (x + 1)ex

2. L'unité d'aire en cm² est de 6 cm².
Sur l'intervalle [-2 ; 0 ] , Cf est au dessus de l'axe des abscisses ( minimum > 0 ) donc l'aire est égale en unité d'aire à :

A = 6(3 + e-2) cm² 18,81cm²