Problème du bac série STI (GET, GE), 1995

Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

On note Cg la courbe représentative de g dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

1. Déterminer la limite de g en 0 et en + ∞. Que peut-on en déduire pour Cg ?
2. Déterminer , à l'aide de la dérivée g', le sens de variation de g. Dresser le tableau de variation de g.
3.
courbe 1 courbe 2 courbe 3
L'une des courbes précédentes est la courbe Cg. Indiquer le numéro correspondant à Cg , en précisant la raison de votre choix .

4. Calculer g(1/e) . En déduire, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, le signe de g(x).
Partie B - Étude d'une fonction et
tracé de sa courbe représentative
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :

On note Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( unités graphiques : 4 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée ).
1. Soit x appartenant à ]0 ; +∞[. Vérifier que f '(x) = g(x).
2. Déterminer les limites de f en 0 et en + ∞
3. Dresser le tableau de variation de f.
4. Déterminer l'équation de la tangente (T) à Cf en son point I d'abscisse 1. Préciser la position de Cf par rapport à (T).
5. Tracer (T) et Cf
Partie C -Calcul d'une aire
1. Soit H la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
H(x) = x (ln x)² - 2x ln x + 2x
Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : h(x) = (ln x) ².
Vérifier que H est une primitive de h sur ]0 ; +∞[ .
2. Soit (D) la partie du plan limitée par les droites d'équations x = 1 et x = e, la tangente (T) et la courbe Cf . Calculer l'aire A, exprimée en cm² de (D) . On donnera la valeur exacte, puis l'approximation décimale par défaut à 10-2 près.

Correction
Partie A
1.

par conséquent la droite d'équation x = 0 est asymptote à la courbe Cg ( asymptote verticale )

on peut donc en déduire que la droite d'équation y = e est asymptote à la courbe Cg ( asymptote horizontale )
2.
La fonction g est dérivable sur ]0 ; +∞[ et :

g'(x) est du signe de 1 - lnx puisque x² est strictement positif sur ]0 ; +∞[ , étudions donc le signe de 1 - ln x
1 - ln x > 0 ⇔1 > ln x ⇔ e > x


3.

4.



On en déduit le signe de g(x) sur ]0 ; +∞[


Partie B
1. f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et :

2.
On peut en conclure que la courbe Cf admet un asymptote horizontale d'équation x = 0.

3. f'(x) = g(x) on en déduit les variations de f


4. Équation de la tangente au point d'abscisse 1.
Calcul du coefficient directeur de cette tangente

e est le coefficient directeur de cette tangente.

y - f(1)= f'(1) ( x - 1)
y - 0 = e(x - 1)
Équation de la tangente
(T) : y =ex - e
Pour étudier la position de la courbe Cf par rapport à la tangente (T) d'équation y = ex - e il suffit d'étudier le signe de f(x) - ( ex - e)

On en déduit que Cf est au dessus de sa tangente (T) au point d'abscisse 1.
5.

Partie C.

1. La fonction H est dérivable sur ]0 ; +∞[ :

donc H est bien une primitive de h sur ]0 ; +∞[
2.