Problème du bac sti (GE, GET) 1996

Partie A - Étude d'une fonction
Soit la fonction f définie sur l'intervalle I= ]0 ; +∞[ par :
f(x) = ln(2x) - ln(x+1)
1. Vérifier que pour tout réel x de I on a :

2. a. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle I
b. calculer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition I.
c. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
3. On note (C) la courbe représentative de f dans un plan muni d'un repère orthonormal ; l'unité de longueur est 2 cm.
a. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe (C) avec l'axe (O ; ).
b. déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 1.
c. tracer la courbe (C) et la tangente (T)
4. Déterminer le nombre tel que la tangente () à la courbe (C) au point d'abscisse soit parallèle à la droite d'équation y = x.
Partie B - Étude d'une fonction primitive
Soit la fonction g définie sur I= ]0 ; +∞[ par :
g(x) = x ln(2x) - (x + 1) ln(x + 1)
1. Démontrer que la fonction g est une primitive de la fonction f sur I.
2.a.
Étudier le signe de f(x) d'après les résultats de la partie A.
b. En déduire les variations de g sur l'intervalle I
3. Calculer en cm² la valeur exacte de l'aire de l'ensemble des points M(x; y) du plan tels que 1< x < 2 et 0< y < f(x)
Préciser une valeur décimale approchée à 0,01cm² près.

Correction
1. pour tout réel x de I on a :

donc pour tout réel x de I on a :

2.a. la fonction f est dérivable sur I comme somme de 2 fonctions dérivables sur I et

f'(x) > 0 sur I donc f est strictement croissante sur I.
b.

on en déduit que la courbe représentative (C) de la fonction f admet la droite x = 0 comme asymptote ( asymptote verticale )


or ln(1) = 0 donc

On en déduit donc
La droite d'équation y = ln 2 est asymptote à la courbe représentative (C) de f ( asymptote horizontale )
c.

3.a. Le point d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses a une ordonnée nulle donc son abscisse x vérifie l'équation f(x) = 0

C'est donc le point d'abscisse 1.
b. Calculons le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 :

On sait de plus que f(1) = 0 d'après la question 3.a
L'équation de la tangente au point d'abscisse a de la courbe est : y - f(a) = f'(a) (x - a)
Donc l'équation de (T) est y - 0 = 0,5(x - 1)

c.

4. Pour () soit parallèle à la droite d'équation y = x il faut que ces deux droites aient le même coefficient directeur c'est à dire 1.
Par conséquent doit vérifier l'équation f'(x )=1

Partie B.
1. La fonction g est dérivable sur I, calculons sa dérivée :

g'(x) = f(x) donc g est bien une primitive de f sur I.
2.a on sait que f(1) = 0 on en déduit donc le signe de f(x) :


2.b


3.La courbe représentative de f est au dessus de l'axe des abscisse sur l'intervalle [1; 2] donc l'aire de l'ensemble des points M(x; y) du plan tels que 1< x < 2 et 0< y < f(x) est égale à :

(u.a unités d'aire )
Calculons l'intégrale :

L'unité d'aire étant de 4 cm² ,
L'aire du domaine demandé est donc de :