Problème du bac sti (GET- GEL) 1998

Dans tout le problème, I désigne l'intervalle ]0 ; + ∞[
Partie A
Soit g la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par :
g(x) = x ln x - 2x + 3
1.a. Déterminer la limite de g en 0.
( on admettra que )
b. Déterminer la limite de g en + ∞
(on pourra mettre x en facteur ).
2. Déterminer à l'aide de la dérivée g', le sens de variation de la fonction g.
Dresser le tableau de variations de g.
3. Calculer g(e). En déduire que pour tout x appartenant à ]0 ;+∞[, g(x) > 0
Partie B
Soit f la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par :
f(x) = 2x² ln x - 5x² + 12 x
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal ayant pour unités graphiques :

1. Soit x appartenant à ]0 ;+∞[. Montrer que f '(x) = 4g(x).
2. a. Déterminer la limite de f en 0.
b. Déterminer la limite de f en +∞.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
4. a. Déterminer une équation de la tangente T1 à C en son point I d'abscisse 1.
b. Déterminer une équation de la tangente T2 à C en son point K d'abscisse e.
5. Tracer T1 , T2 et C .
Partie C
1. Soit la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par

et h la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par h(x) = x² lnx.
Vérifier que H est une primitive de h sur ]0 ;+∞[ .
2. Soit D la partie du plan limitée par les droites d'équation x = 1 et x = e, l'axe des abscisses et la courbe C. Calculer l'aire A, exprimée en unité d'aire, de la partie D. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.


Correction
Partie A
1.a.

1.b.

2. g est dérivable comme somme de fonction dérivable sur ]0 ;+∞[, calculons g'(x) :

Étudions le signe de g'(x) :

g'(x) > 0 ⇔ln x - 1> 0 ⇔ln x > 1 ⇔ x > e
donc g est décroissante sur [0 ; e] et elle est croissante sur [e ; + ∞ [

On en déduit le tableau de variation de la fonction g :


3. g(e) = e ln e - 2e + 3 = e - 2e + 3 = 3 - e
g admet sur l'intervalle ]0 ;+∞[ un minimum absolu en e qui est 3 -e , donc pour tout réel x de l'intervalle ]0 ;+∞[
g(x) > 3 - e > 0.
Partie B.
1.
f est dérivable comme somme de fonctions
dérivables sur ]0 ;+∞[

2. a.

b.

3. f'(x) = 4 g(x) donc f'(x) > 0 sur ]0 ;+∞[ d'ou f est strictement croissante sur ]0 ;+∞[.

4. a.
Tangente T1 à C en son point I d'abscisse 1.
f'(1) = 4(1ln1-2+3) = 4
Le coefficient directeur de T1 est 4.
f(1)= 2ln1 - 5 + 12 = 7.
y - f(1) = f'(1)(x - 1)
y - 7 = 4(x - 1)
T1 : y = 4x + 3
b.
f'(e) = 4g(e) = 4(3 - e) =12 - 4e est le coefficient directeur de la tangente en e.
f(e) = 2e²lne - 5e² + 12 e = 2e² - 5e² + 12e = - 3e² + 12 e
Équation de T2
y = - 3e² + 12e + (12 - 4e)(x - e)
y = (12 - 4e)x - 3e² + 12e - 12e + 4e²
T2 : y = (12 - 4e)x + e²
5.

Partie C
1.
La fonction H est dérivable sur ]0 ;+∞[ et on a :

( forme (uv)' = u'v + uv' )
On en déduit que H est une primitive de la fonction h sur ]0 ;+∞[ .
2.

Sur l'intervalle [1; e] , la courbe C est au dessus de l'axe des abscisses donc l'aire A de la partie D est égale en unité d'aire à :


( vérifiez quand même ! )
soit environ A 31,35 cm²