Problème du bac STI GC, GE,GM session 2000

Partie A - Etude graphique d'une fonction

Soit f la fonction définie sur ]-; +[ par :

On trouvera sur le graphique ci-après, le tracé de la courbe C représentative de f et le tracé de la tangente à la courbe C au point K(0 ; 1) , dans le repère orthonormé .
On admet que le point K est centre de symétrie de la courbe C et que le point B(1; 3) appartient à la tangente T.

1. On se propose de démontrer certaines propriétés de la courbe C.
a. Etudier la limite de f en - et préciser l'asymptote à C correspondante
b. On admet que pour tout réel x, f(x) peut se mettre sous la forme :
.
En déduire la limite en + et préciser l'asymptote à C correspondante.
c. Vérifier par le calcul, que le point A(-ln2, 0) est un point de la courbe C.
2. Grâce à une lecture graphique, répondre aux questions suivantes en justifiant vos réponses.
a. Déterminer la valeur de f'(0)
b . Donner le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

Partie B - Etude d'une primitive de f sur ]-; +[

Soit F la fonction définie sur ]-; +[ par :

et (Γ) sa courbe représentative dans le repère orthonormé
.
1. Etudier la limite de F en - . Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe (Γ).
2. a. vérifier que pour tout réel x , F(x) peut s'écrire :
.
b. Calculer la limite de F en +, puis la limite de F(x) - (2x) en +
c. En déduire que la courbe (Γ) admet une asymptote.
3. a. Démontrer que f est la fonction dérivée de F sur ]-; +[
b. Vérifier que F(-ln2) = ln (3/4)
c. Déduire de la partie A le tableau de variation de la fonction F.
4. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats à 10-2 près :

5. Sur la feuille de papier millimétré, tracer dans le repère d'unités graphiques 4 cm, les droites d'équations respectives y = 2x et y = 0, puis la courbe (Γ).

Partie C - Calcul d'une aire

1. Calculer la valeur exacte de .
2. En déduire la valeur exacte en cm² de l'aire du domaine AOK (grisé sur la courbe jointe ) et en donner une valeur approchée à un millimétre carré près par excès.