Soit f la fonction définie sur ]-;
+[ par :
On trouvera sur le graphique ci-après, le tracé de
la courbe C représentative de f et le tracé de la
tangente à la courbe C au point K(0 ; 1) , dans le repère
orthonormé
.
On admet que le point K est centre de symétrie de la courbe
C et que le point B(1; 3) appartient à la tangente T.
1. On se propose de démontrer certaines propriétés
de la courbe C.
a. Etudier la limite de f en -
et préciser l'asymptote à C correspondante
b. On admet que pour tout réel x, f(x) peut se mettre sous
la forme :
.
En déduire la limite en +
et préciser l'asymptote à C correspondante.
c. Vérifier par le calcul, que le point A(-ln2, 0) est un
point de la courbe C.
2. Grâce à une lecture graphique, répondre aux
questions suivantes en justifiant vos réponses.
a. Déterminer la valeur de f'(0)
b . Donner le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
Partie B - Etude d'une primitive de f sur ]-; +[
Soit F la fonction définie sur ]-;
+[ par :
et (Γ) sa courbe
représentative dans le repère orthonormé
.
1. Etudier la limite de F en - .
Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe
(Γ).
2. a. vérifier que pour tout réel x , F(x) peut s'écrire
:
.
b. Calculer la limite de F en +,
puis la limite de F(x) - (2x) en +
c. En déduire que la courbe (Γ)
admet une asymptote.
3. a. Démontrer que f est la fonction dérivée
de F sur ]-;
+[
b. Vérifier que F(-ln2) = ln (3/4)
c. Déduire de la partie A le tableau de variation
de la fonction F.
4. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les
résultats à 10-2 près :
5. Sur la feuille de papier millimétré, tracer dans
le repère
d'unités graphiques 4 cm, les droites d'équations
respectives y = 2x et y = 0, puis la courbe (Γ).
Partie C - Calcul d'une aire
1. Calculer la valeur exacte de .
2. En déduire la valeur exacte en cm² de l'aire du domaine
AOK (grisé sur la courbe jointe ) et en donner une valeur
approchée à un millimétre carré près
par excès.