Problème du bac STI GC-GEN-GM Session 2001


Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthogonal ( unités graphiques : 2cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).
Soit la f fonction définie sur ]- ∞ ; + ∞[ par :
f(x) = 3e-x + 2x - 4
Partie A - Construction de la courbe représentative de f
1. a. Déterminer la limite de f en + ∞
b. Vérifier que f(x) = e-x ( 3 + 2xex - 4 ex )
Déterminer alors la limite de f en -∞ .
c.
Soit C la courbe représentative de f et soit D la droite d'équation :
y = 2x - 4.
Montrer que D est asymptote à C en + ∞ et étudier la position relative de la droite D par rapport à courbe C.
2. a Calculer la dérivée de f. Résoudre l'inéquation d'inconnue réelle x :
-3e-x + 2 ≥ 0.
b. Dresser le tableau de variation de f.
c. Donner une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.
d. Déterminer les valeurs exactes du minimum et du maximum de la fonction f sur l'intervalle [-2 ; 5]
3. Tracer C, D et T dans le repère , pour x variant de -2 à 5 ( sur papier millimétré )

Partie B - Calcul d'une aire

1. Chercher une primitive de f sur ]- ∞ ; + ∞[.
2. a. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet sur ]1 ; 2[ une unique solution α dont on donnera une valeur approchée au dixième près.
b. Préciser, en le justifiant, le signe de f(x) sur l'intervalle ] α ; +∞ [.
c. Calculer, en cm², l'aire du domaine plan limité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation
x = α et x = 4.
En donner une valeur approchée, en utilisant pour α la valeur approchée trouvée précédemment.


Correction
Partie A :
1. a.

1. b.

1.c.

donc la droite d'équation y = 2x - 4 est asymptote à la courbe C en +∞.
f(x) - (2x - 4) > 0 donc la courbe C est au dessus de la droite D.
2. a .

2. b.


2.c.
Equation de la tangente au point d'abscisse 0 :

2.d.

3.

Partie B :
1.

2. a
f'(x) > 0 sur ]1 ; 2[ donc :
sur l'intervalle [1 ; 2] f est strictement croissante, de plus

par conséquent l'équation f(x) = 0 admet une solution unique α telle que :
1 < α < 2 .
f(1,7) < 0 et f(1,8) > 0 donc 1,7 est une valeur approchée de α à 0,1 près par défaut.
2 b. sur l'intervalle ] α ; +∞ [ la fonction f est strictement croissante, donc pour tout réel x > α on a f(x) > f(α) donc f(x) > 0.
2. c.