Problème bac session 2000 STI série génie mécanique et génie des matériaux

Partie A

Soit g la fonction définie sur l'intervalle
I = ] 0 ; +∞[ par g(x) = x² - 2lnx.
1) Etudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.
( On ne demande pas de calculer les limites aux bornes de I )
2) En déduire que pour tout réel strictement positif :
g(x) > 0

Partie B

Soit la fonction f définie sur l'intervalle I par :

On note ( C ) la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal , d'unité graphique 2cm.
1) a) Etudier la limite de f en 0 et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe ( C )
b) En remarquant que f(x) peut s'écrire :

étudier la limite de f en +∞ .
2) a) Montrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle I,

b) Déduire de la partie A, le signe de f '(x), puis le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle I
c) Dresser le tableau de variation de f.
3) Soit (D) la droite d'équation

a)Montrer que la droite (D) est asymptote à la courbe
( C ).
b) Déterminer par le calculs les coordonnées du point d'intersection de la courbe ( C) et de la droite ( D )
c) Sur l'intervalle I, déterminer la position de la courbe (C ) par rapport à la droite ( D )
4) Construire avec soin, dans le repère la droite (D) et la courbe (C)
Partie C
On considère la fonction h définie sur l'intervalle I par :

1) En remarquant que h(x) est de la forme u'(x) u(x) , déterminer une primitive de la fonction h.
2. On considère la partie du plan limitée par la courbe ( C ) , la droite ( D ) et les droites d'équation : x = 1/e et x = e² Hachurer cette partie de plan, puis calculer son aire en cm² .



Correction
Partie A
1) g est dérivable sur ] 0 ; +∞[ et pour tout réel x appartenant à ] 0 ; +∞[ on a :

sur l'intervalle ]0 ; + ∞[ , 2(x + 1) et x sont strictement positif donc g'(x) est du signe de (x -1) on en déduit les variations de g :

2) g(1) = 1 - 2ln 1 = 1 > 0
g admet un minimum absolu en x = 1 qui est g(1) = 1
donc pour tout réel x appartenant à ] 0 ; +∞[
g(x) > 0.
Partie B
1) a)

interprétation graphique la courbe (C) admet une asymptote verticale d'équation x = 0.
b)

2) a) f
est dérivable sur I et pour tout réel x appartenant à I on a :

b) g(x) et 2x² sont strictement positif sur I par conséquent
f '(x) est strictement positif on en conclu que f est croissante sur I.
c)

3) a)

or
( limite calculée partie A question 1) a) )
donc la droite (D) est asymptote à la courbe (C)
b) soit x l'abscisse du point recherché on :

1/e est l'abscisse du point recherché , il suffit de reporter cette valeur dans l'équation de (D) pour avoir l'ordonnée de ce point :

C'est donc le point de coordonnées :


sur l'intervalle ]0 ; e-1[ , 1+ lnx < 0 donc la courbe (C) est strictement en dessous de la droite (D)
sur l'intervalle ]e-1 ; +∞[ la courbe (C) est strictement au dessus de la droite (D)
4)

Partie C :

1) h est dérivable sur I , soit H une primitive de h sur I
posons u(x) = ln x on a u'(x) = 1/x et par conséquent h est de la forme u'u on en déduit : H = u²/2




L'unité d'aire est de 4 cm²
L'aire de la partie hachurée est donc 4 x 9/2 = 18 cm²