Le but de ce problème est l'étude de la conception, des caractéristiques et de la commercialisation d'une bobine de fil.
Partie A : Détermination d'une fonction f nécessaire à la conception d'une bobine.
Soit f la fonction
numérique définie, pour tout nombre réel x de l'intervalle
[0, 4], par :
f (x) = ax2 + bx
+ c
Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
(unité graphique 1 cm)
On impose les conditions suivantes:
1. Calculer a,
b et c pour que les trois conditions précédentes soient
remplies et en déduire que pour tout x de l'intervalle [0
, 4],
2. Montrer que la fonction f admet sur [0 , 4] un
minimum que l'on précisera.
3. Construire la courbe (C) dans le repère .
Partie B: Conception et étude des caractéristiques de la bobine.
Soit
la partie du plan limitée par la courbe (C), l'axe des abscisses
et les droites d'équations x = 0 et x = 4.
La rotation de la partie
autour de l'axe des abscisses engendre un solide (B). Ce solide
est la bobine ci-dessous dessinée (fig.1).
1.
a. Hachurer la partie
sur le graphique.
b. Vérifier que pour tout x de ,
c. En déduire la valeur exacte en cm3 du volume
V1 de la bobine sans fil.
On rappelle que:
2. Lorsque le
fil est placé sur la bobine, l'ensemble "bobine avec fil" est assimilé
à un cylindre (voir fig.2).
a. Calculer la valeur exacte, en cm3 du volume
V2 de ce cylindre.
b. En déduire la valeur exacte, en cm3, du volume
V occupé par le fil sur la bobine.
3. Le fabriquant
affirme que la bobine ainsi constituée contient 200 m de fil cylindrique
de
diamètre 0,4 mm. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse?
Partie C: Commercialisation des bobines.
A l'issue de la fabrication,
une bobine de fil peut présenter 0, 1, 2 ou 3 défauts.
90% des bobines de fil ont 0 défaut.
5% des bobines de fil ont 1 défaut.
3% des bobines de fil ont 2 défauts.
2% des bobines de fil ont 3 défauts.
1. On choisit au hasard une bobine de fil. Calculer la probabilité
pour qu'elle présente au plus un défaut.
2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque bobine de fil
choisie au hasard associe le nombre de ses défauts.
a. Définir à l'aide du tableau la loi de probabilité pour
qu'elle présente au plus un défaut.
b. Calculer l'espérance mathématique E(X) et donner une valeur
approchée à 10-2 près de
l'écart type
de la variable aléatoire X.
3. Le prix de
vente d'une bobine de fil dépend du nombre de défauts qu'elle présente
comme l'indique le tableau suivant:
Soit Y la variable aléatoire
qui à chaque bobine de fil choisie au hasard associe son prix.
a. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire
Y.
b. Calculer l'espérance mathématique E(Y) de Y. Que représente
E(Y)?