équations cartésiennes d'un plan dans l'espace

Comment déterminer une équation cartésienne d'un plan ?


Equation cartésienne du plan (ABC) défini par 3 points
A, B et C non alignés
Méthode utilisant un vecteur normal au plan :
(pour cette méthode vous devez savoir calculer un produit vectoriel , si vous n'avez pas vu le produit vectoriel, il y a une autre façon de déterminer un vecteur normal : voir ici )

Méthode utilisant l'appartenance des trois points A, B et C
Les trois points A, B et C appartiennent au plan dont une équation cartésienne est de la forme :
ax + by + cz + d = 0
A(0 ; 0 ; 1) appartient au plan à (ABC) donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan on a donc :
c + d = 0
B(4 ; 2; 3) appartient à (ABC)
donc : 4a + 2b + 3c + d = 0 il en est de même pour C(-3 ; 1; 1)
donc : -3a + b + c + d = 0.
a, b, c , d sont solution du système

Exprimons les variables a, b, c et d en fonction d'une par exemple a :

on "retombe" bien sur la même équation ou sur une équation dont les coefficients sont proportionnels à ceux trouvés dans la première méthode.
Méthode utilisant la définition vectorielle d'un plan :