Exercices probabilité bac S session 2002

1. Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4.
On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté a, porté sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note b le numéro du jeton tiré.
Soit (O; ;; ) un repère orthonormal de l'espace.
On considère les vecteurs et de coordonnées respectives (a; -5; 1 - a) et (1+b; 1 ;b). Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à ¼ .

2. Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d'un certain nombre de parties identiques décrites ci-après : au cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question.

Si A obtient des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est déclaré vainqueur, le jeu s'arrête.
Si A obtient des vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B est déclaré vainqueur et le jeu s'arrête.
Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie et le jeu continue.

Pour tout entier n, on désigne par :

- An l'événement : "A gagne la n-ième partie"
- Bn l'événement : "B gagne la n-ième partie"
- Cn l'événement : "le jeu continue après la n-ième partie"

a. Calculer les probabilités p(A1), p(B1), et p(C1).

b. Exprimer p(Cn+1) en fonction de p(Cn) et montrer que :

Exprimer p(An+1) en fonction de p(Cn) et en déduire que :

3. a. Déterminer la limite de p(An) quand n tend vers + ∞ .
b.
Déterminer le plus petit entier n tel que p(An) soit inférieur ou égal à 0,01.

Correction : 1.


Notons Ω l'univers associé à l'expérience aléatoire :
Ω = {(1; 1) , (1 ; 2) ........}, card Ω = 42
( Il y a 42 = 4 ´ 4 tirages possibles pour comprendre dénombrer avec un arbre )
Soit O l'événement : " Obtenir une somme égale à 5 ".
O est composé de 4 éléments (1 ;4) , (2 ; 3) , (3 ; 2) et (4 ; 1)
( Il y a 4 tirages favorables, on peut obtenir une somme égale à 5 en tirant 1, 4 ou 4, 1 ou 2, 3 ou 3, 2)

La probabilité que et de coordonnées respectives
(a; -5; 1 - a) et (1+b; 1 ;b) soient orthogonaux est égale à 1/4.
2. La probabilité que les vecteurs soient orthogonaux est de 1/4, donc la probabilité qu'ils ne le soient pas est de 3/4.
les évènements "A obtient des vecteurs orthogonaux " et"B obtient des vecteurs orthogonaux " sont indépendants il en est de même de leurs contraires :
a. A1 : " A gagne la première partie "
B1 : " B gagne la première partie "
C1: " Le jeu continue après la première partie

( C1 : " les deux perdent ou les deux gagnent à la première partie ")
b.
p(Cn+1) = p(Cn) ´ p(C1)
p(Cn+1) = p(Cn) ´ 5/8
(p(Cn)) est donc une suite géométrique de premier terme p(C1) =5/8 et de raison 5/8, par conséquent :


3. a. 0 < 5/8 < 1 donc :

b.