projection

Dans le plan affine :
La projection sur une droite D parallèlement à une droite D'.
( D' est appelée direction de projection, D et D' sont sécantes) est l'application du plan dans lui même qui à tout point M associe le point M' intersection de la droite D et de la parallèle à la droite D' passant par M.
Image d'un point M

Image d'un segment [AB]

Traduction analytique
Considérons un repère (O; ;) du plan tel que et sont des vecteurs directeurs respectifs de D et D' et O soit le point d'intersection de D et D' .
Soient M(x ; y ) et M'(x' ; y') son image par la projection sur la droite D parallèlement à la droite D' alors :

ce qui peut s'écrire sous forme matricielle :

Dans l'espace affine :
  • La projection sur un plan parallèlement à une droite D
    ( la droite D coupe le plan en un point O) est l'application de l'espace dans lui même qui à tout point M associe le point M' intersection du plan et de la parallèle à la droite D passant par M.
    On peut de la même façon traduire analytiquement cette projection en choisissant un repère de l'espace (O; ;; ) tel que (O ; ;) définisse le plan et
    (O ; ) la droite D , M(x ; y ; z) a pour image M'(x'; y' ;z') se traduit analytiquement par :

    et sous forme matricielle :

  • La projection sur une droite D parallèlement à un plan
    ( la droite D coupe le plan en un point O) est l'application de l'espace dans lui même qui à tout point M associe le point M' intersection de la droite D et du plan parallèle au plan passant par M.

    On peut traduire analytiquement cette projection en choisissant le même repère de l'espace (O; ;; ) qu'au dessus tels que (O ; ;) définisse le plan et
    (O ; ) la droite D , M(x ; y ; z) a pour image M'(x'; y' ;z') se traduit analytiquement par :

    sous forme matricielle :

Toutes les projections définies ci-dessus sont des applications affines.
Les projections orthogonales sont des projections telles que la droite directrice ou le plan directeur sont perpendiculaires à la droite ou le plan de projection.