quartiles d'une série statistique
Variable discréte
:
Définition par la médiane.
Le
premier quartile et le
troisième
quartile d'une série statistique rangée dans l'ordre
croissant (
x1 ,
x2 ,
x3
,
x4 , .....,
xn) sont les nombres
Q1
et
Q3 définis de la
façon suivante :
Si M = Q
2 est la
médiane
de cette série, M partage la série la série
(
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4
, .....,
xn) en deux séries de même effectif
:
(
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4
, .....,
xp) et (
xp+1 ,
xp+2
,
xp+3 ,
xp+4 , .....,
xn)
la première série contient les modalités inférieur
ou égales à Q
2
la seconde série contient les modalités supérieur ou
égales à Q
2
Les nombres
Q1 et
Q3
sont donc alors les médianes respectives de ces deux séries.
Définition directe.
Le
premier quartile et le
troisième
quartile d'une série statistique rangée dans l'ordre
croissant (
x1 ,
x2 ,
x3
,
x4 , .....,
xn) sont les nombres
Q1
et
Q3 définis de la
façon suivante :
- si n/4 est un entier , le premier quartile
Q1
est le terme de rang n/4 et le troisième quartile
Q3
est le terme de rang 3n/4.
- si n/4 n'est pas un entier,
Q1 et
Q3 sont respectivement les termes
de rang immédiatement supérieur à n/4 et 3n/4.
Remarque :
Le paramètre
Q1 permet de dire que
25 % environ de la population étudiée a une modalité inférieure à la
Q1
et 75 % une modalité supérieure à la
Q1.
Le paramètre
Q3 permet de dire que
75 % environ de la population étudiée a une modalité inférieure à la
Q3
et 25 % une modalité supérieure à la
Q3.
On peut définir aussi les quartiles Q
1, Q
2,
Q
3 comme des valeurs permettant de couper une population ordonnée
en quatre groupe contenant chacun le même nombre d'élément.
Exemple : on fait une étude statistique
sur les 50 notes attribuées par un jury à un examen, voici les résultats
obtenus en classant ces notes par ordre croissant (variable discrète ).
n/4 = 12,5 ce n'est pas un entier donc le premier
quartile est le terme de rang 13 soit
Q1
= 5
3n/4 = 37,5 ce n'est pas un entier donc le troisième quartile est
le terme de rang 38 soit Q3 = 13
Construction du diagramme en boite , pour le construire il faut :
La valeur minimale de la série : 0
Le premier quartile Q1
= 5
Le second quartile ou la médiane
Q2 = 9,5
Le troisième quartile Q3
= 13
La valeur maximale de la série : 20
Variable continue
Si la variable est continue ( regroupement par intervalle des résultats
) le calcul de la quartiles se fait autrement :
Les quartiles se calculent alors par interpolation
linéaire.
Construisons le polygone des effectifs cumulés croissants :
Les nombre Q1
, Q2 ,
Q3 correspondent aux effectifs cumulés n/4 ,
n/2 et 3n/4 ( soit 12,5 ; 25 et 37,5 )
Par interpolation linéaire on :
Construction du diagramme en boite , pour le construire il faut :
La valeur minimale de la série : 0
Le premier quartile Q1
= 5,94
Le second quartile ou la médiane
Q2 = 10,33
Le troisième quartile Q3
= 14,05
La valeur maximale de la série : 20
Exercice interactif : calcul des
paramètres d'une série statistique continue